Verinque se sao colineares os pontos:
A(1,2), B(3,1) e C(-1,2)

Passo 1

O enunciado dá três pontos do plano e pergunta se eles são colineares. Os dados são:
A(1,2), B(3,1) e C(-1,2).
A pergunta é: os três pontos A, B e C pertencem a uma mesma reta?

Passo 2

Vou usar um método simples e direto: comparar as inclinações (declives) das retas que passam por pares desses pontos. Se a inclinação da reta AB for igual à inclinação da reta AC, então A, B e C são colineares; caso contrário, não são. Escolhi esse método porque é elementar (só envolve subtrações e uma divisão) e funciona bem aqui, já que nenhum dos cálculos leva a divisão por zero neste caso.

Passo 3

Lembrete sobre inclinação (declive): dado dois pontos P(x_1,y_1) e Q(x_2,y_2), a inclinação da reta que passa por eles é
m_{PQ}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui m_{PQ} é um número que diz “quanto a reta sobe (diferença em y) para cada unidade que anda para a direita (diferença em x)”. Atenção: se x_2-x_1=0 a reta é vertical e a inclinação não é definida; então aí comparamos verticalidade em vez de valores numéricos.

Passo 4

Calcular a inclinação da reta que passa por A(1,2) e B(3,1).
Primeiro as diferenças:
y_B-y_A = 1-2 = -1,
x_B-x_A = 3-1 = 2.
Portanto
m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-1}{2}=-\tfrac{1}{2}.
Interpretação rápida: a reta de A para B desce meia unidade em y para cada unidade em x.

Passo 5

Calcular a inclinação da reta que passa por A(1,2) e C(-1,2).
Primeiro as diferenças:
y_C-y_A = 2-2 = 0,
x_C-x_A = -1-1 = -2.
Portanto
m_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{0}{-2}=0.
Interpretação: a reta de A para C é horizontal (não sobe nem desce).

Passo 6

Comparando as inclinações obtidas: m_{AB}=-\tfrac{1}{2} e m_{AC}=0. Como -\tfrac{1}{2}\neq 0, as retas AB e AC têm inclinações diferentes, logo não estão sobre a mesma reta. Portanto os pontos não são colineares.

Passo 7

Verificação alternativa (útil para treinar outro método): calcular o determinante (produto cruzado) das componentes dos vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Temos
\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A)=(2,\;-1),
\overrightarrow{AC}=(x_C-x_A,\;y_C-y_A)=(-2,\;0).
O produto cruzado em 2D (determinante) é
\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=(2)\cdot(0)-(-1)\cdot(-2)=0-2=-2\neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, os vetores não são linearmente dependentes e, portanto, os pontos não são colineares — confirmação do resultado anterior.

Resposta

Os pontos A(1,2), B(3,1) e C(-1,2) não são colineares.

Exercícios relacionados