Verinque se sao colineares os pontos: A(1,2), B(3,1) e C(-1,2)
Passo 1
O enunciado dá três pontos do plano e pergunta se eles são colineares. Os dados são: A(1,2), B(3,1) e C(-1,2).
A pergunta é: os três pontos A, B e C pertencem a uma mesma reta?
Passo 2
Vou usar um método simples e direto: comparar as inclinações (declives) das retas que passam por pares desses pontos. Se a inclinação da reta AB for igual à inclinação da reta AC, então A, B e C são colineares; caso contrário, não são. Escolhi esse método porque é elementar (só envolve subtrações e uma divisão) e funciona bem aqui, já que nenhum dos cálculos leva a divisão por zero neste caso.
Passo 3
Lembrete sobre inclinação (declive): dado dois pontos P(x_1,y_1) e Q(x_2,y_2), a inclinação da reta que passa por eles é
m_{PQ}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui m_{PQ} é um número que diz “quanto a reta sobe (diferença em y) para cada unidade que anda para a direita (diferença em x)”. Atenção: se x_2-x_1=0 a reta é vertical e a inclinação não é definida; então aí comparamos verticalidade em vez de valores numéricos.
Passo 4
Calcular a inclinação da reta que passa por A(1,2) e B(3,1).
Primeiro as diferenças:
Interpretação rápida: a reta de A para B desce meia unidade em y para cada unidade em x.
Passo 5
Calcular a inclinação da reta que passa por A(1,2) e C(-1,2).
Primeiro as diferenças:
y_C-y_A = 2-2 = 0,
x_C-x_A = -1-1 = -2.
Portanto
m_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{0}{-2}=0.
Interpretação: a reta de A para C é horizontal (não sobe nem desce).
Passo 6
Comparando as inclinações obtidas: m_{AB}=-\tfrac{1}{2} e m_{AC}=0. Como -\tfrac{1}{2}\neq 0, as retas AB e AC têm inclinações diferentes, logo não estão sobre a mesma reta. Portanto os pontos não são colineares.
Passo 7
Verificação alternativa (útil para treinar outro método): calcular o determinante (produto cruzado) das componentes dos vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Temos
Como o determinante é diferente de zero, os vetores não são linearmente dependentes e, portanto, os pontos não são colineares — confirmação do resultado anterior.
Resposta
Os pontos A(1,2), B(3,1) e C(-1,2) não são colineares.