Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:
(h)
(h)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os intervalos de crescimento, os intervalos de decrescimento, os máximos relativos e os mínimos relativos da função definida por partes
Informações dadas:
- A função tem duas fórmões, uma linear
válida em e uma quadrática válida em . - O ponto de “troca” entre as formas é
. - A função está definida para todo
(pois cada ramo cobre partes que juntas formam toda a reta).]
Passo 2
Vamos estudar cada ramo separadamente. Primeiro, lembro uma ideia importante: para uma função diferenciável, se a derivada é positiva em um intervalo então a função é crescente ali; se a derivada é negativa então é decrescente. Para funções definidas por partes, aplicamos isso em cada ramo e verificamos o comportamento no ponto de junção (aqui
).
Derivadas dos ramos:
- Para o ramo
(quando ) a derivada é
pois a derivada de
é
e de uma constante é
.
- Para o ramo
(quando ) a derivada é
pois a derivada de
é
e de
é
.
Passo 3
Analisando o ramo à esquerda (
):
- Como
para todo , a função é estritamente crescente em todo esse ramo. - Portanto concluímos que
é crescente em .
Explicação didática: um gráfico com inclinação constante positiva (reta com coeficiente angular) sobe quando avançamos para a direita, logo é crescente.
Passo 4
Analisando o ramo à direita (
):
- A derivada é
. O sinal de depende do sinal de : - Se
, então e o ramo é decrescente. - Se
, então e esse ponto é crítico (possível extremo). - Se
, então e o ramo é crescente.
- Se
- Como esse ramo vale apenas para
, as conclusões ficam: -
é decrescente em . -
é crescente em .
Explicação didática: para uma parábolaa esquerda da sua vértice (aqui ) a função decresce, e à direita da vértice cresce. A derivada mostra exatamente isso.
-
Passo 5
Estudando o ponto de junção
:
- Valor da função em
: como pertence ao ramo , usamos . - Limite pelo ramo direito em
: . (Aqui observei que os dois lados dão o mesmo valor; a função é contínua em .) - Sinal da derivada à esquerda de
: (aumentando antes de ). - Sinal da derivada à direita de
: (diminuindo imediatamente depois de ). - Como a função sobe quando se aproxima de
pela esquerda e desce quando se afasta pela direita, é um máximo relativo. - Coordenada do máximo relativo:
.
Passo 6
Estudando o ponto crítico
(do ramo direito):
-
pertence ao ramo , onde . - Derivada:
, logo é um ponto crítico. - Sinal da derivada antes e depois de
: em temos (decrescente) e em temos (crescente). Há troca de sinal de negativo para positivo, o que caracteriza um mínimo relativo. - Valor em
: . - Coordenada do mínimo relativo:
.
Passo 7
Observações finais sobre extremos globais:
- À esquerda, quando
, o ramo linear , então não existe mínimo global finito (a função vai para ). - À direita, quando
, , então não existe máximo global finito. - Portanto os extremos encontrados em
e são relativos, não máximos/mínimos globais finitos.
Resposta
Intervalos de crescimento:
e
Intervalo de decrescimento:
Máximo relativo:
Mínimo relativo:
Intervalo de decrescimento:
Máximo relativo:
Mínimo relativo: