Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:
(h) f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+4, x \leq-2 \\\ x^{2}-2, x>-2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os intervalos de crescimento, os intervalos de decrescimento, os máximos relativos e os mínimos relativos da função definida por partes
f(x)=\begin{cases} x+4, & x\leq-2,\\[4pt] x^{2}-2, & x>-2. \end{cases}
Informações dadas:
  • A função tem duas fórmões, uma linear (x+4) válida em x\leq-2 e uma quadrática (x^{2}-2) válida em x>-2.
  • O ponto de “troca” entre as formas é x=-2.
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R} (pois cada ramo cobre partes que juntas formam toda a reta).]

Passo 2

Vamos estudar cada ramo separadamente. Primeiro, lembro uma ideia importante: para uma função diferenciável, se a derivada é positiva em um intervalo então a função é crescente ali; se a derivada é negativa então é decrescente. Para funções definidas por partes, aplicamos isso em cada ramo e verificamos o comportamento no ponto de junção (aqui x=-2).
Derivadas dos ramos:
  • Para o ramo \;f(x)=x+4 (quando x\leq-2) a derivada é
f'(x)=1,
pois a derivada de x é 1 e de uma constante é 0.
  • Para o ramo \;f(x)=x^{2}-2 (quando x>-2) a derivada é
f'(x)=2x,
pois a derivada de x^{2} é 2x e de -2 é 0.

Passo 3

Analisando o ramo à esquerda ( x\leq-2):
  • Como f'(x)=1>0 para todo x\leq-2, a função é estritamente crescente em todo esse ramo.
  • Portanto concluímos que f é crescente em (-\infty,-2].
    Explicação didática: um gráfico com inclinação constante positiva (reta com coeficiente angular 1) sobe quando avançamos para a direita, logo é crescente.

Passo 4

Analisando o ramo à direita ( x>-2):
  • A derivada é f'(x)=2x. O sinal de 2x depende do sinal de x:
    • Se x<0, então 2x<0 e o ramo é decrescente.
    • Se x=0, então 2x=0 e esse ponto é crítico (possível extremo).
    • Se x>0, então 2x>0 e o ramo é crescente.
  • Como esse ramo vale apenas para x>-2, as conclusões ficam:
    • f é decrescente em (-2,0).
    • f é crescente em (0,\infty).
      Explicação didática: para uma parábola x^{2}-2 a esquerda da sua vértice (aqui x=0) a função decresce, e à direita da vértice cresce. A derivada 2x mostra exatamente isso.

Passo 5

Estudando o ponto de junção x=-2:
  • Valor da função em x=-2: como -2 pertence ao ramo x\leq-2, usamos f(-2)=-2+4=2.
  • Limite pelo ramo direito em x\to-2^{+}: (-2)^{2}-2=4-2=2. (Aqui observei que os dois lados dão o mesmo valor; a função é contínua em x=-2.)
  • Sinal da derivada à esquerda de -2: f'_{-}=1>0 (aumentando antes de -2).
  • Sinal da derivada à direita de -2: f'_{+}=2(-2)=-4<0 (diminuindo imediatamente depois de -2).
  • Como a função sobe quando se aproxima de -2 pela esquerda e desce quando se afasta pela direita, x=-2 é um máximo relativo.
  • Coordenada do máximo relativo: \big(-2,\;2\big).

Passo 6

Estudando o ponto crítico x=0 (do ramo direito):
  • 0 pertence ao ramo x>-2, onde f(x)=x^{2}-2.
  • Derivada: f'(0)=2\cdot 0=0, logo é um ponto crítico.
  • Sinal da derivada antes e depois de 0: em (-2,0) temos f'(x)=2x<0 (decrescente) e em (0,\infty) temos f'(x)=2x>0 (crescente). Há troca de sinal de negativo para positivo, o que caracteriza um mínimo relativo.
  • Valor em x=0: f(0)=0^{2}-2=-2.
  • Coordenada do mínimo relativo: \big(0,\;-2\big).

Passo 7

Observações finais sobre extremos globais:
  • À esquerda, quando x\to-\infty, o ramo linear x+4\to-\infty, então não existe mínimo global finito (a função vai para -\infty).
  • À direita, quando x\to\infty, x^{2}-2\to\infty, então não existe máximo global finito.
  • Portanto os extremos encontrados em -2 e 0 são relativos, não máximos/mínimos globais finitos.

Resposta

Intervalos de crescimento: (-\infty,-2] e (0,\infty)
Intervalo de decrescimento: (-2,0)
Máximo relativo: \big(-2,\;2\big)
Mínimo relativo: \big(0,\;-2\big)

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