Determinar uma curva y=y(x) derivável e tal que a distância da origem a cada reta tangente seja igual ao módulo da abscissa do respectivo ponto de tangência.
Dica: Dado P=(x0, y0) e a reta r: a X+b Y+c=0, a distância de P a r é dada pela expressão:
d(P, r)=|a x0+b y0+c|raiza^2+b^2

Passo 1

Resumo do enunciado: temos que encontrar uma curva y=y(x) derivável tal que, em cada ponto P=(x,y(x)), a distância do O=(0,0) à reta tangente nesse ponto seja igual a |x|. Esse problema envolve equação da reta tangente, fórmula de distância ponto–reta e resolução de uma equação diferencial.

Passo 2

Achar a reta tangente em P=(x,y). A equação da tangente é
y - y(x) = y'(x)l(X - xr)
Em forma geral aX+bY+c=0 fica
y'(x),X - Y + l(y(x)-x,y'(x)r)=0
Logo a = y’, b = -1, c = y - x y’.

Passo 3

Aplicar a fórmula da distância do O à reta r: d = |a·0 + b·0 + c| / √(a²+b²). Substituindo a,b,c:
$$
d = \frac{|y - x y’|}{\sqrt{(y’)^2 + 1}} d = |y - x y'|raiz(y')^2 + 1çãéã
\frac{|y - x y’|}{\sqrt{1 + (y’)^2}} = |x|
$$

Passo 4

Eliminar os valores absolutos para obter a equação diferencial em forma quadrática. Elevando ao quadrado:
(y - x y')^2 = x^2l(1 + (y')^2r)
Expandindo e cancelando termos iguais chega-se a
y^2 - 2xyy' = x^2

Passo 5

Reescrever a equação como
2xy,y' = y^2 - x^2
e isolar y’:
y' = y^2 - x^22x y

Passo 6

Fazer a mudança de variáveis u = y/x ⇒ y = u x e y’ = u + x u’. Substituindo em y’ = (y^2 - x^2)/(2xy) obtém-se
u + x u' = u^2 - 12u
Isolando u’ e separando variáveis:
2uu^2+1,du = -dxx

Passo 7

Integrar ambos os lados:
integral 2uu^2+1,du = -integral dxx implies ln(u^2+1) = -ln|x| + C
Voltando a u = y/x:
u^2 + 1 = Kx implies y^2x^2 + 1 = Kx
Multiplicando por x^2:
y^2 + x^2 = Kx

Passo 8

Interpretar a solução: a família de curvas implícita é
y^2 + x^2 = Kx
que são círculos de centro (K/2,0) e raio |K|/2. Como função y(x) temos as semicircunferências
$$
y(x) = \pm\sqrt{Kx - x^2}$$
com K constante.

Passo 9

Verificar domínios e sinais: para x≥0 e K>0, a raiz é real e d>0; para x≤0 tratar separadamente. Esses ramos satisfazem a condição de distância.

Resposta

A família geral de curvas que satisfaz a condição é dada implicitamente por
y^2 + x^2 = Cx,
o que, como funções y(x), corresponde aos ramos
y(x) = pmraizCx - x^2,
com C constante real positiva (para garantir domínio real).

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