Determinar uma curva
derivável e tal que a distância da origem a cada reta tangente seja igual ao módulo da abscissa do respectivo ponto de tangência.
Dica: Dado
e a reta
, a distância de
a
é dada pela expressão:
Dica: Dado
Passo 1
Resumo do enunciado: temos que encontrar uma curva y=y(x) derivável tal que, em cada ponto P=(x,y(x)), a distância do O=(0,0) à reta tangente nesse ponto seja igual a |x|. Esse problema envolve equação da reta tangente, fórmula de distância ponto–reta e resolução de uma equação diferencial.
Passo 2
Achar a reta tangente em P=(x,y). A equação da tangente é
Em forma geral aX+bY+c=0 fica
Logo a = y’, b = -1, c = y - x y’.
Passo 3
Aplicar a fórmula da distância do O à reta r: d = |a·0 + b·0 + c| / √(a²+b²). Substituindo a,b,c:
$$
d = \frac{|y - x y’|}{\sqrt{(y’)^2 + 1}}
\frac{|y - x y’|}{\sqrt{1 + (y’)^2}} = |x|
$$
Passo 4
Eliminar os valores absolutos para obter a equação diferencial em forma quadrática. Elevando ao quadrado:
Expandindo e cancelando termos iguais chega-se a
Passo 5
Reescrever a equação como
e isolar y’:
Passo 6
Fazer a mudança de variáveis u = y/x ⇒ y = u x e y’ = u + x u’. Substituindo em y’ = (y^2 - x^2)/(2xy) obtém-se
Isolando u’ e separando variáveis:
Passo 7
Integrar ambos os lados:
Voltando a u = y/x:
Multiplicando por x^2:
Passo 8
Interpretar a solução: a família de curvas implícita é
que são círculos de centro (K/2,0) e raio |K|/2. Como função y(x) temos as semicircunferências
$$
y(x) = \pm\sqrt{Kx - x^2}$$
com K constante.
com K constante.
Passo 9
Verificar domínios e sinais: para x≥0 e K>0, a raiz é real e d>0; para x≤0 tratar separadamente. Esses ramos satisfazem a condição de distância.
Resposta
A família geral de curvas que satisfaz a condição é dada implicitamente por
o que, como funções y(x), corresponde aos ramos
com C constante real positiva (para garantir domínio real).