Questão 7. Com respeito a série
sumn=1^+infty e^-raizn2 raizn
podemos dizer que:
B Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty e^-raizn2raizn, que é de termos positivos. O que se pede é a natureza dessa série: ela converge ou diverge? Vamos usar o teste integral para séries de termos positivos.

Passo 2

Definimos a função contínua, positiva e decrescente em [1,infty):
f(x)=e^-raizx2raizx
Pelo teste integral, basta verificar o comportamento de
integral1^inftyf(x),dx

Passo 3

Fazemos a substituição u=raizx, então x=u^2 e dx=2u,du. Quando x vai de 1 a infty, u vai de 1 a infty. Assim:
integral1^inftye^-raizx2raizx,dx =integralu=1^inftye^-u2ucdot(2u),du =integral1^inftye^-u,du

Passo 4

O integral
integral1^inftye^-u,du = l[-e^-ur]1^infty = 0 - (-e^-1) = e^-1
é finito. Pelo teste integral, a série também converge. Portanto, a afirmação verdadeira é que a série é convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty e^-raizn2raizn converge.

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