Para determinar a densidade e identificar o tipo de material de uma esfera metálica, os estudantes de uma turma de fisica experimental 1 da UFPB mediram o diâmetro d e a massa mn de uma dada esfera. Os valores de d e m, obtidos em 5 medidas estão na seguinte tabela:
Medida |c|c|c| hline Medida & $d(cm)$ & $m(g)$ hline 1 & $3,550 pm 0,005$ & $62,7 pm 0,1$ hline 2 & $3,555 pm 0,005$ & $62,4 pm 0,1$ hline 3 & $3,550 pm 0,005$ & $62,9 pm 0,1$ hline 4 & $3,545 pm 0,005$ & $63,1 pm 0,1$ hline 5 & $3,545 pm 0,005$ & $63,5 pm 0,1$ hline |c|c| hline Metal & Densidade $(g / cm^3)$ hline Ferro & 7,87 hline Alumínio & 2,70 hline Titânio & 4,51 hline
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A partir da medida para a densidade da esfera, comparando com os valores de densidade informados na tabela abaixo, determine o material de fabricação da esfera metálica.
Metal Densidade
Ferro 7,87
Alumínio 2,70
Titânio 4,51

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma série de medidas de diâmetro d e massa m de uma esfera metálica e o objetivo é calcular a densidade dela pra ver se é ferro, alumínio ou titânio. Isso faz parte de Física Experimental (noções de média, volume de esfera e propagação de erro). Para resolver, vamos precisar de:
  1. Média aritmética e incerteza das medidas (aqui vamos assumir que a incerteza dada nas tabelas, ±0,005 cm para d e ±0,1 g para m, é o erro de cada medida e já serve como erro na média).
  2. Fórmula do volume de uma esfera:
V = 43,pi,r^3, r = d2
  1. Propagação de erros (para funções do tipo f(x): , e para produto/quociente: ).

Passo 2

Calcular média e erro de d e m:
Média do diâmetro
bar d = 3,550 + 3,555 + 3,550 + 3,545 + 3,5455 = 17,7455 = 3,549 cm,
com incerteza bar m = 62,7 + 62,4 + 62,9 + 63,1 + 63,55 = 314,65 = 62,92 g, .
Média da massa
d = (3,549 pm 0,005),cm, m = (62,92 pm 0,1),g
com incerteza .
Então

Passo 3

Volume da esfera e incerteza:
r = d2 = 1,7745 cm, de
Volume
V = 43,pi,r^3 = 43,pi,(1,7745)^3 approx 23,42 cm^3
Propagação de erro em V (já que Vpropto r^3):
de
Logo
V = (23,42 pm 0,10),cm^3

Passo 4

Agora a densidade
rho = mV = 62,9223,42 approx 2,69 gcm^3
Propagação de erro em quociente:
de
de
Assim
rho = (2,69 pm 0,01),gcm^3

Passo 5

Comparando com a tabela de densidades:
  • Ferro: 7,87 g/cm³
  • Alumínio: 2,70 g/cm³
  • Titânio: 4,51 g/cm³
Nosso valor rho = 2,69pm0,01 bate certinho com o alumínio (2,70).

Resposta

A densidade da esfera é
rho = (2,69 pm 0,01),gcm^3,
logo o material é Alumínio.

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