Determinar a derivada de cada função y=f(x) definida abaixo:
y=\sqrt[x]{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=f(x)=x^{\tfrac1x}. Vamos usar logaritmo natural e as regras da cadeia e do quociente para encontrar y'.

Passo 2

Reescrevemos a função em forma exponencial:
y = x^{\frac1x} = \exp\!\Bigl(\frac{\ln x}{x}\Bigr).

Passo 3

Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
\ln y = \frac{\ln x}{x}.

Passo 4

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{1}{y}\,y'.
No lado direito, aplicamos a regra do quociente a \frac{\ln x}{x}:
\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{\ln x}{x}\Bigr) = \frac{x\cdot\frac1x - \ln x\cdot1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}.

Passo 5

Isolamos y':
\frac{1}{y}\,y' = \frac{1 - \ln x}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad y' = y\,\frac{1 - \ln x}{x^2}.
Como y = x^{\tfrac1x}, segue
y' = x^{\frac1x}\,\frac{1 - \ln x}{x^2}.

Resposta

y' = x^{\frac1x}\,\frac{1 - \ln x}{x^2}.

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