Partindo diretamente da definição de derivada, mostre que se:
f(x)=\frac{1}{x^{2}} \Longrightarrow f^{\prime}(x)=-\frac{2}{x^{3}}, \quad x \neq 0

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\frac{1}{x^2} usando a definição
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
para x\neq0.

Passo 2

Escrevemos o quociente de diferença:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{\displaystyle \frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x^2}}{h}.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador combinando as frações:
\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x^2} =\frac{x^2-(x+h)^2}{x^2\,(x+h)^2} =\frac{x^2-\bigl(x^2+2xh+h^2\bigr)}{x^2\,(x+h)^2} =\frac{-2xh-h^2}{x^2\,(x+h)^2} =\frac{-h(2x+h)}{x^2\,(x+h)^2}.
Portanto,
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{-h(2x+h)}{h\,x^2\,(x+h)^2} =\frac{-(2x+h)}{x^2\,(x+h)^2}.

Passo 4

Tomamos o limite quando h\to0:
f'(x) =\lim_{h\to0}\frac{-(2x+h)}{x^2\,(x+h)^2} =\frac{-2x}{x^2\cdot x^2} =-\frac{2}{x^3}.

Resposta

f'(x) = -\frac{2}{x^{3}}, \quad x \neq 0.

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