Demonstrar que se:
f(x)=\sqrt{x} \Longrightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}, \quad x>0

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = \sqrt{x}
em x>0 e pede para demonstrar que
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Vamos usar a definição de derivada via limite e a técnica de racionalização de numerador.

Passo 2

Pela definição de derivada, temos
f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}.

Passo 3

Para eliminar a raiz no numerador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x+h} + \sqrt{x}:
\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \;\times\; \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} = \frac{(x+h)-x}{\,h\,(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \frac{h}{\,h\,(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}.

Passo 4

Agora basta avaliar o limite quando h\to 0:
f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Resposta

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}},\quad x>0.

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