Determinar a derivada de cada função y=f(x) definida abaixo:
y=(\cos x)^{\sin x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = (\cos x)^{\sin x}.
O conteúdo usado será a técnica de derivação de funções na forma f(x)^{g(x)}, aplicando logaritmo para simplificar.

Passo 2

Tomamos logaritmo natural em ambos os lados para “descer” o expoente:
\ln y = \sin x \,\ln\bigl(\cos x\bigr).

Passo 3

Derivamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo vale
\frac{d}{dx}\bigl(\ln y\bigr)=\frac{y'}{y},
e no direito, usando produto e cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl[\sin x\,\ln(\cos x)\bigr] =\cos x\;\ln(\cos x) +\sin x\;\frac{1}{\cos x}\bigl(-\sin x\bigr) =\cos x\ln(\cos x)\;-\;\frac{\sin^2 x}{\cos x}.

Passo 4

Isolando y' temos
\frac{y'}{y} =\cos x\ln(\cos x)\;-\;\frac{\sin^2 x}{\cos x},
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y' = y\Bigl(\cos x\ln(\cos x)-\tfrac{\sin^2 x}{\cos x}\Bigr) =(\cos x)^{\sin x}\Bigl(\cos x\ln(\cos x)-\tfrac{\sin^2 x}{\cos x}\Bigr).

Resposta

y'=(\cos x)^{\sin x}\Bigl(\cos x\ln(\cos x)-\tfrac{\sin^2 x}{\cos x}\Bigr).

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