Exercício 0.33 Resolva as equações dadas.
\frac{x-3}{x^{2}+1}=x^{3}-3 x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação racional
\frac{x - 3}{x^{2} + 1} \;=\; x^{3} - 3x.
O conteúdo envolvido é manipulação algébrica e solução de polinômio. Vamos precisar multiplicar ambos os lados pelo denominador, obter um polinômio em x e, em seguida, encontrar suas raízes reais por análise de sinais e bisseção.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por x^{2}+1, que nunca é zero em \mathbb{R}, para eliminar o denominador:
x - 3 \;=\; \bigl(x^{2}+1\bigr)\,\bigl(x^{3}-3x\bigr).

Passo 3

Expandindo o produto do lado direito e trazendo tudo para um lado, obtemos
x - 3 \;=\; x^{5} -2x^{3} -3x \quad\Longrightarrow\quad 0 = x^{5} -2x^{3} -3x \;-\;(x-3) = x^{5} -2x^{3} -4x +3.
Logo nossa equação original vale se, e somente se,
x^{5} -2x^{3} -4x +3 = 0.

Passo 4

Para ver se há raízes racionais, aplicamos o teorema das raízes racionais: candidatos \pm1,\pm3. Testando em f(x)=x^{5}-2x^{3}-4x+3 vemos que f(\pm1)\neq0 e f(\pm3)\neq0. Portanto não há raízes racionais. Precisamos achar as raízes reais aproximadas por método numérico.

Passo 5

Analisamos o sinal de f(x) em alguns pontos para localizar mudanças de sinal:
  • f(0)=3>0 e f(1)=-2<0 \Rightarrow há uma raiz em (0,1).
  • f(1)=-2<0 e f(2)=11>0 \Rightarrow há uma raiz em (1,2).
  • f(-2)=-5<0 e f(-1)=8>0 \Rightarrow há uma raiz em (-2,-1).

Passo 6

Aplicando o método da bisseção em cada um desses intervalos até, digamos, três casas decimais de precisão, obtemos:
  • Raiz em (-2,-1): x\approx -1,887.
  • Raiz em (0,1): x\approx 0,645.
  • Raiz em (1,2): x\approx 1,685.

Resposta

As soluções reais da equação são aproximadamente
x \approx -1{,}887,\quad 0{,}645,\quad 1{,}685.

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