Determinar a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor v:
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y,z)= no ponto P=(3,2,6) na direção do vetor . Vamos usar o conceito de derivada direcional como o produto escalar entre o gradiente de f em P e o vetor unitário na direção de .
Passo 2
Primeiro calculamos o gradiente de f. Como , pelas derivadas parciais temos:
Passo 3
Agora avaliamos essas parciais em P=(3,2,6). Primeiro . Logo:
fx(P)=2cdot62cdot6=1,
fy(P)=3cdot62cdot6=1812=1,5,
fz(P)=3cdot22cdot6=612=0,5
Passo 4
Portanto o gradiente em P é nabla f(P)=lang<=1,1,5,0,5rang<=.
Em seguida normalizamos vec v. O módulo de vec v é |vec v|=raiz(-1)^2+2^2+2^2=3, então o vetor unitário é vec u=lang<=-1/3,2/3,2/3rang<=.