Determinar a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor v:
f(x, y, z)=raizx y z,(3,2,6), v=lang<=-1,2,2rang<=

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y,z)= raizx y z no ponto P=(3,2,6) na direção do vetor vec v=lang<=-1,2,2rang<=. Vamos usar o conceito de derivada direcional como o produto escalar entre o gradiente de f em P e o vetor unitário na direção de vec v.

Passo 2

Primeiro calculamos o gradiente de f. Como f(x,y,z)=(x y z)^1/2, pelas derivadas parciais temos:
fx=12(x y z)^-1/2cdot(y z)=y z2raizx y z,
fy=x z2raizx y z,
fz=x y2raizx y z

Passo 3

Agora avaliamos essas parciais em P=(3,2,6). Primeiro raizx y z|P=raiz3cdot2cdot6=6. Logo:
fx(P)=2cdot62cdot6=1,
fy(P)=3cdot62cdot6=1812=1,5,
fz(P)=3cdot22cdot6=612=0,5

Passo 4

Portanto o gradiente em P é nabla f(P)=lang<=1,1,5,0,5rang<=.
Em seguida normalizamos vec v. O módulo de vec v é |vec v|=raiz(-1)^2+2^2+2^2=3, então o vetor unitário é vec u=lang<=-1/3,2/3,2/3rang<=.

Passo 5

Finalmente a derivada direcional é
Dvec uf(P)=nabla f(P)cdotvec u=1cdot$ -tfrac13$+1,5cdottfrac23+0,5cdottfrac23=1

Resposta

1

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