Considere a função F(x, y)=x^3+y^3-12 x-3 y. Os pontos (2,-1),(-2,-1) e (-2,1) são pontos críticos de F e são, respectivamente:
a) ( ) ponto de sela, máximo local e ponto de sela.
d) ( ) máximo local, ponto de sela e mínimo local.
b) ( ) ponto de sela, ponto de sela e máximo local.
e) ( ) mínimo local, máximo local e ponto de sela.
c) ( ) mínimo local, ponto de sela e máximo local.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ \vec{F}(x, y) = x^{3} + y^{3} - 12x - 3y $ e três pontos críticos: $ (2,-1) $, $ (-2,-1) $ e $ (-2,1) $. O objetivo é descobrir se cada um desses pontos é um ponto de sela, um máximo local ou um mínimo local. Para isso, vamos usar o Teste da Segunda Derivada, que nos ajuda a classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar os pontos críticos de uma função de duas variáveis. Isso acontece onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Já que os pontos críticos foram fornecidos, podemos pular essa parte e focar na classificação deles.

Passo 3

Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais da função $ \vec{F}(x, y) $:
F(x, y)
fxx = partial^2 Fpartial x^2 = 6x
fyy = partial^2 Fpartial y^2 = 6y

Passo 4

Com as segundas derivadas, calculamos o discriminante $ D $ para cada ponto crítico usando a fórmula:
D
Dependendo do valor de $ D $ e do sinal de $ f_{xx} $, classificamos o ponto:
  • Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $: mínimo local
  • Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $: máximo local
  • Se $ D < 0 $: ponto de sela
  • Se $ D = 0 $: teste inconclusivo

Passo 5

Vamos analisar cada ponto:
  1. Ponto $ (2, -1) $:
    (2, -1)
    fxx = 6 times 2 = 12
    fyy = 6 times (-1) = -6
    Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
  2. Ponto $ (-2, -1) $:
    D = 12 times (-6) - 0 = -72
    D < 0
    (-2, -1)
    Aqui, $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, então é um máximo local.
  3. Ponto $ (-2, 1) $:
    fxx = 6 times (-2) = -12
    fyy = 6 times (-1) = -6
    D = (-12) times (-6) - 0 = 72
    Novamente, $ D < 0 $, indicando um ponto de sela.

Resposta

A alternativa correta é a a) ( ) ponto de sela, máximo local e ponto de sela.

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