Determinar a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor v:
g(x, y)=x-yxy+2, P(1,-1), v=12i+5j R: 2113

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada direcional da função $ g(x, y) = \frac{x - y}{xy + 2} $ no ponto $ P(1, -1) $ na direção do vetor $ \vec{v} = 12\mathbf{i} + 5\mathbf{j} $. Para resolver isso, vamos precisar entender derivadas parciais, vetores e como calcular derivadas direcionais usando o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é calculada usando o gradiente da função nesse ponto e a direção do vetor. A fórmula é:
Du g = nabla g cdot u
Onde $ \nabla g $ é o gradiente de $ g $ e $ \vec{u} $ é o vetor unitário na direção de $ \vec{v} $.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de $ g(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
Primeiro, a derivada parcial em relação a $ x $:
g(x, y)
Usamos a regra do quociente:
x
Simplificando:
y

Passo 4

Agora, a derivada parcial em relação a $ y $:
y
Aplicando a regra do quociente:
gy = partialpartial y ( x - yxy + 2 )
Simplificando:
gy = (-1)(xy + 2) - (x - y)(x)(xy + 2)^2

Passo 5

Agora que temos $ g_x $ e $ g_y $, podemos formar o gradiente $ \nabla g $:
gx

Passo 6

Vamos calcular o gradiente no ponto $ P(1, -1) $. Substituindo $ x = 1 $ e $ y = -1 $:
Para $ g_x $:
P(1, -1)
Para $ g_y $:
x = 1
Então, o gradiente no ponto $ P(1, -1) $ é:
y = -1

Passo 7

Agora, vamos normalizar o vetor $ \vec{v} = 12\mathbf{i} + 5\mathbf{j} $ para obter o vetor unitário $ \vec{u} $.
Primeiro, calculamos a norma de $ \vec{v} $:
v = 12i + 5j
Então, o vetor unitário $ \vec{u} $ é:
u

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Du g = nabla g cdot u = (3, -3) cdot ( 1213, 513 ) = 3 cdot 1213 + (-3) cdot 513
Calculando:
Du g = 3613 - 1513 = 2113

Resposta

A derivada direcional de $ g $ no ponto $ P(1, -1) $ na direção do vetor $ \vec{v} = 12\mathbf{i} + 5\mathbf{j} $ é $ \frac{21}{13} $.

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