Determinar a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor v:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada direcional da função $ g(x, y) = \frac{x - y}{xy + 2} $ no ponto $ P(1, -1) $ na direção do vetor $ \vec{v} = 12\mathbf{i} + 5\mathbf{j} $. Para resolver isso, vamos precisar entender derivadas parciais, vetores e como calcular derivadas direcionais usando o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é calculada usando o gradiente da função nesse ponto e a direção do vetor. A fórmula é:
Onde $ \nabla g $ é o gradiente de $ g $ e $ \vec{u} $ é o vetor unitário na direção de $ \vec{v} $.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de $ g(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
Primeiro, a derivada parcial em relação a $ x $:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
Agora, a derivada parcial em relação a $ y $:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos $ g_x $ e $ g_y $, podemos formar o gradiente $ \nabla g $:
Passo 6
Vamos calcular o gradiente no ponto $ P(1, -1) $. Substituindo $ x = 1 $ e $ y = -1 $:
Para $ g_x $:
Para $ g_y $:
Então, o gradiente no ponto $ P(1, -1) $ é:
Passo 7
Agora, vamos normalizar o vetor $ \vec{v} = 12\mathbf{i} + 5\mathbf{j} $ para obter o vetor unitário $ \vec{u} $.
Primeiro, calculamos a norma de $ \vec{v} $:
Então, o vetor unitário $ \vec{u} $ é:
Passo 8
Finalmente, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Calculando:
Resposta
A derivada direcional de $ g $ no ponto $ P(1, -1) $ na direção do vetor $ \vec{v} = 12\mathbf{i} + 5\mathbf{j} $ é $ \frac{21}{13} $.