determine o dominioe imagem de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o domínio e a imagem da função $ g(t) = \sqrt{t^{2} - 2} $. Isso está relacionado ao estudo de funções, especificamente sobre como encontrar os valores de $ t $ que tornam a função válida (domínio) e os possíveis resultados que a função pode gerar (imagem). Para resolver, vamos precisar entender como as raízes quadradas funcionam e as condições que garantem que a expressão dentro da raiz seja não negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ t $ para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro da raiz, ou seja, $ t^{2} - 2 $, precisa ser maior ou igual a zero porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Então, estabelecemos a seguinte condição:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa inequação para encontrar os valores de $ t $ que satisfazem a condição.
Para resolver $ t^{2} \geq 2 $, lembramos que $ t^{2} \geq a $ implica que $ t \leq -\sqrt{a} $ ou $ t \geq \sqrt{a} $.
Aplicando isso aqui:
Passo 4
Então, o domínio da função $ g(t) $ é todos os números reais $ t $ que são menores ou iguais a $ -\sqrt{2} $ ou maiores ou iguais a $ \sqrt{2} $. Em notação matemática, podemos escrever:
Passo 5
Agora, vamos determinar a imagem da função $ g(t) $. A imagem é o conjunto de todos os valores que $ g(t) $ pode assumir.
Sabemos que $ g(t) = \sqrt{t^{2} - 2} $, então o valor dentro da raiz, $ t^{2} - 2 $, é sempre maior ou igual a zero pelo domínio que determinamos. Além disso, a raiz quadrada de qualquer número não negativo também é não negativa. Ou seja:
Passo 6
Para encontrar a imagem, vamos analisar os possíveis valores de $ g(t) $:
À medida que $ |t| $ aumenta, $ t^{2} - 2 $ também aumenta, o que significa que $ g(t) $ pode crescer indefinidamente. O menor valor que $ g(t) $ pode assumir é zero, quando $ t^{2} = 2 $ (ou seja, $ t = \pm \sqrt{2} $).
Então, a imagem começa em zero e vai até o infinito.