Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
f(s, t)=te^st, P(0,2) ∇f=4imath+jmath var máx=raiz17á

Passo 1

Temos a função de duas variáveis f(s,t)=t e^st e o ponto P(0,2). O objetivo é encontrar a taxa de variação máxima de f nesse ponto e a direção em que ela ocorre, usando o gradiente.

Passo 2

Precisamos calcular as derivadas parciais. Para isso, lembramos que e^st é tratada como constante multiplicada por t ou por st. Assim: partial fpartial s=t^2e^st e partial fpartial t=e^st+st e^st=e^st(1+st).

Passo 3

Agora avaliamos as derivadas parciais em P(0,2), ou seja, em s=0 e t=2: partial fpartial s(0,2)=2^2e^0=4 e partial fpartial t(0,2)=e^0(1+0)=1. Logo nabla f(0,2)=4,hatimath+1,hatjmath.

Passo 4

A taxa de variação máxima é o módulo do gradiente: |nabla f(0,2)|=raiz4^2+1^2=raiz17. A direção em que isso ocorre é a do próprio gradiente, dada pelo vetor unitário
1raiz17(4,1)

Resposta

Taxa de variação máxima: raiz17. Direção em que ocorre: vetor unitário llang<=4raiz17,1raiz17rrang<=.

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