Determine o gradiente de f(x, y) no ponto dado:
f(x, y)=sen(2x+3y), P(-6,4) R: ∇f=2i+3j

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de f(x,y)=sen(2x+3y) no ponto P(-6,4). O conteúdo envolve derivadas parciais e a definição de gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis é dado por ∇f=(∂f/∂x)i+(∂f/∂y)j. Vamos precisar aplicar a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais de f(x,y)=sen(2x+3y).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais usando a regra da cadeia:
  • ∂f/∂x=cos(2x+3y)·2
  • ∂f/∂y=cos(2x+3y)·3

Passo 3

Agora avaliamos em P(-6,4): 2x+3y=2(−6)+3·4=−12+12=0 e cos(0)=1. Portanto,
  • ∂f/∂x|_{P}=2·1=2
  • ∂f/∂y|_{P}=3·1=3

Resposta

nabla f(-6,4)=2i+3j

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