Determinar a derivada das funções dadas a seguir.
f(w)=\frac{\operatorname{sen} w+\cos w}{\operatorname{sen} w-\cos w}+\ln \left(w^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(w)=\frac{\operatorname{sen} w+\cos w}{\operatorname{sen} w-\cos w}+\ln\left(w^{2}\right).
Informações relevantes fornecidas pela própria expressão:
  • A função é soma de duas parcelas: uma razão (quociente) \dfrac{\operatorname{sen} w+\cos w}{\operatorname{sen} w-\cos w} e um logaritmo \ln\left(w^{2}\right).
  • Pontos a observar no domínio: w\neq 0 (porque \ln\left(w^{2}\right) exige w\neq 0) e \operatorname{sen} w-\cos w\neq 0 (para que o denominador do quociente exista).
  • O que se pede: calcular f'(w), a derivada em relação a w, nos pontos onde a função está definida.

Passo 2

Regra usada: a derivada da soma é a soma das derivadas. Então basta derivar cada parcela separadamente e somar:
f'(w)=\left(\frac{\operatorname{sen} w+\cos w}{\operatorname{sen} w-\cos w}\right)'\;+\;\left(\ln\left(w^{2}\right)\right)'.
Vou calcular cada derivada (da razão e do logaritmo) passo a passo.

Passo 3

Derivada da razão — preparo:
Defino
u(w)=\operatorname{sen} w+\cos w,\qquad v(w)=\operatorname{sen} w-\cos w.
Regra do quociente: para u/v vale
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Agora calculemos u'(w) e v'(w). Lembrando as derivadas básicas:
\frac{d}{dw}\operatorname{sen} w=\cos w,\qquad \frac{d}{dw}\cos w=-\operatorname{sen} w.
Aplicando:
u'(w)=\cos w-\operatorname{sen} w, \qquad v'(w)=\cos w+\operatorname{sen} w.

Passo 4

Aplicando a fórmula do quociente:
\left(\frac{\operatorname{sen} w+\cos w}{\operatorname{sen} w-\cos w}\right)' = \frac{(\cos w-\operatorname{sen} w)(\operatorname{sen} w-\cos w)-(\operatorname{sen} w+\cos w)(\cos w+\operatorname{sen} w)}{(\operatorname{sen} w-\cos w)^{2}}.
Para simplificar o numerador, chamo \operatorname{sen} w = A e \cos w=B só para ver a álgebra com clareza; depois volto a A,B:
\text{num}=(B-A)(A-B)-(A+B)(B+A).
Note que (B-A)(A-B)=-(B-A)^{2}=-(A^{2}+B^{2}-2AB) e (A+B)(B+A)=(A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}. Então
\text{num}=-(A^{2}+B^{2}-2AB)-(A^{2}+2AB+B^{2})=-2A^{2}-2B^{2}.
Voltando a \operatorname{sen} w e \cos w:
\text{num}=-2\big(\operatorname{sen}^{2} w+\cos^{2} w\big).
Usando a identidade trigonométrica \operatorname{sen}^{2} w+\cos^{2} w=1, obtemos
\text{num}=-2.
Portanto a derivada da razão simplifica muito:
\left(\frac{\operatorname{sen} w+\cos w}{\operatorname{sen} w-\cos w}\right)'=\frac{-2}{(\operatorname{sen} w-\cos w)^{2}}.

Passo 5

Derivada do logaritmo \ln\left(w^{2}\right):
Usa-se a regra da cadeia. Se g(w)=w^{2} então \ln(g(w))'\!=\!\dfrac{g'(w)}{g(w)}. Aqui g'(w)=2w e g(w)=w^{2}. Portanto
\left(\ln\left(w^{2}\right)\right)'=\frac{2w}{w^{2}}=\frac{2}{w},
válido para w\neq 0, como já observado.

Passo 6

Somando as duas derivadas obtidas:
f'(w)=-\frac{2}{(\operatorname{sen} w-\cos w)^{2}}+\frac{2}{w}.
É possível fatorar 2 se desejar uma forma alternativa:
f'(w)=2\!\left(\frac{1}{w}-\frac{1}{(\operatorname{sen} w-\cos w)^{2}}\right).
Lembrete sobre domínio da derivada: esta expressão é válida quando w\neq 0 e \operatorname{sen} w-\cos w\neq 0.

Resposta

f'(w)=-\frac{2}{(\operatorname{sen} w-\cos w)^{2}}+\frac{2}{w}

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