Determinar a derivada das funções dadas a seguir.
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações relevantes fornecidas pela própria expressão:
- A função é soma de duas parcelas: uma razão (quociente)
e um logaritmo . - Pontos a observar no domínio:
(porque exige ) e (para que o denominador do quociente exista). - O que se pede: calcular
, a derivada em relação a , nos pontos onde a função está definida.
Passo 2
Regra usada: a derivada da soma é a soma das derivadas. Então basta derivar cada parcela separadamente e somar:
Vou calcular cada derivada (da razão e do logaritmo) passo a passo.
Passo 3
Derivada da razão — preparo:
Defino
Defino
Regra do quociente: para
vale
Agora calculemos
e
. Lembrando as derivadas básicas:
Aplicando:
Passo 4
Aplicando a fórmula do quociente:
Para simplificar o numerador, chamo
e
só para ver a álgebra com clareza; depois volto a
:
Note que
e
. Então
Voltando a
e
:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
Portanto a derivada da razão simplifica muito:
Passo 5
Derivada do logaritmo
:
Usa-se a regra da cadeia. Se então
. Aqui
e
. Portanto
Usa-se a regra da cadeia. Se
válido para
, como já observado.
Passo 6
Somando as duas derivadas obtidas:
É possível fatorar
se desejar uma forma alternativa:
Lembrete sobre domínio da derivada: esta expressão é válida quando
e
.