Determinar a derivada das seguintes funções:
f(x)=1+raizx1-raizx

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente “Determinar a derivada da função
f(x)=1+raizx1-raizx.
Isso é cálculo de derivadas usando regra do quociente, power rule (regra da potência) e derivada de raizx. A gente vai precisar saber:
  • Como derivar x^1/2 (que é 12raizx).
  • A regra do quociente: se f(x)=u(x)v(x), então
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Agora que já resumimos o problema e o que precisa, bora pra conta de verdade.

Passo 2

Primeiro a gente identifica as funções
u(x)=1+raizx, v(x)=1-raizx
Aí por regra do quociente:
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Vamos calcular u'(x) e v'(x).
Como raizx=x^1/2, a derivada é
ddxl(x^1/2r)=tfrac12,x^-1/2=12raizx
Logo:
u'(x)=ddx(1+raizx)=0+12raizx =12raizx,
v'(x)=ddx(1-raizx)=0-12raizx =-12raizx

Passo 4

Substituindo na regra do quociente:
f'(x) =l(tfrac12raizxr)(1-raizx) -l(1+raizxr)l(-tfrac12raizxr) (1-raizx)^2
No numerador tem duas partes:
  1. 1-raizx2raizx
  2. menos menos vira mais: 1+raizx2raizx.
    Somando dá
1-raizx2raizx+1+raizx2raizx =(1-raizx)+(1+raizx)2raizx =22raizx =1raizx
Então
f'(x)=tfrac1raizx(1-raizx)^2 =1raizx,(1-raizx)^2

Resposta

boxedf'(x)=1raizx,(1-raizx)^2

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