Uma partícula em movimento harmônico simples movimenta-se de acordo com a equação
, onde a posição está em metros e o tempo está em segundos. A partir dessa informação, determine: (a) a amplitude do movimento; (b) a frequência e o período do movimento; © a fase do movimento; (d) a posição da partícula quando
; (e) a função da velocidade para a partícula; (f) a velocidade máxima da partícula; (g) a função da aceleração da partícula; (h) a aceleração máxima da partícula; (i) a velocidade e a aceleração em t=0,3 s ; (j) o gráfico da posição em função do tempo para
até
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula que está se movendo de forma harmônica simples, com a equação de posição:
Aqui, $ x(t) $ é a posição em metros e $ t $ é o tempo em segundos. O conteúdo central desse exercício envolve movimento harmônico simples, que é um tipo de movimento periódico que podemos descrever usando funções trigonométricas como o cosseno. Para resolver as partes (a) até (j), vamos precisar entender conceitos como amplitude, frequência, período, fase, velocidade e aceleração no contexto de movimentos harmônicos.
Passo 2
Parte (a): Determinar a amplitude do movimento.
A amplitude em um movimento harmônico simples é o valor máximo da posição da partícula a partir do ponto de equilíbrio. Na equação $ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $, $ A $ representa a amplitude.
No nosso caso, a equação é:
Então, a amplitude $ A = 5 $ metros.
Passo 3
Parte (b): Determinar a frequência e o período do movimento.
A frequência $ f $ é o número de oscilações completas que a partícula faz por segundo, e o período $ T $ é o tempo que a partícula leva para completar uma oscilação.
Na equação $ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $, $ \omega $ é a frequência angular, relacionada à frequência e ao período pelas fórmulas:
Dada a nossa equação $ x(t) = 5 \cos\left(2\pi t + \frac{\pi}{2}\right) $, temos $ \omega = 2\pi $.
Então:
E o período:
Passo 4
Parte ©: Determinar a fase do movimento.
A fase $ \phi $ na equação $ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $ determina a posição inicial da partícula no tempo $ t = 0 $.
Na nossa equação:
Comparando, vemos que $ \phi = \frac{\pi}{2} $.
Passo 5
Parte (d): Determinar a posição da partícula quando $ t = 0,3 $ s.
Basta substituir $ t = 0,3 $ na equação da posição:
Calculando:
Então:
Usando a calculadora:
Portanto:
Passo 6
Parte (e): Determinar a função da velocidade para a partícula.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar $ x(t) $:
A derivada de $ \cos(u) $ em relação a $ t $ é $ -\sin(u) \times \frac{du}{dt} $:
Passo 7
Parte (f): Determinar a velocidade máxima da partícula.
A velocidade máxima ocorre quando $ \sin $ atinge seu valor máximo, que é 1.
Usando a função de velocidade:
Então:
Passo 8
Parte (g): Determinar a função da aceleração da partícula.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar $ v(t) $:
A derivada de $ \sin(u) $ em relação a $ t $ é $ \cos(u) \times \frac{du}{dt} $:
Passo 9
Parte (h): Determinar a aceleração máxima da partícula.
A aceleração máxima ocorre quando $ \cos $ atinge seu valor máximo, que é 1.
Usando a função de aceleração:
Então:
Passo 10
Parte (i): Determinar a velocidade e a aceleração em $ t = 0,3 $ s.
Primeiro, encontramos $ v(0,3) $:
Sabendo que $ \sin(1,1\pi) \approx \sin(198°) \approx -0,3090 $:
Agora, encontramos $ a(0,3) $:
Sabendo que $ \cos(1,1\pi) \approx \cos(198°) \approx -0,3090 $:
Passo 11
Parte (j): Traçar o gráfico da posição em função do tempo para $ t = 0 $ s até $ t = 5 $ s.
Para fazer o gráfico de $ x(t) = 5 \cos\left(2\pi t + \frac{\pi}{2}\right) $, podemos seguir estes passos:
-
Identificar os parâmetros:
- Amplitude $ A = 5 $ m
- Frequência $ f = 1 $ Hz
- Período $ T = 1 $ s
- Fase $ \phi = \frac{\pi}{2} $
-
Calcular pontos-chave:
- Para $ t = 0 $ s:
- Para $ t = 0,25 $ s:
- Para $ t = 0,5 $ s:
- E assim por diante, até $ t = 5 $ s.
- Para $ t = 0 $ s:
-
Plotar os pontos e desenhar a curva:
Utilize um software de plotagem ou papel milimetrado para marcar os pontos calculados e desenhar a onda cosseno mitando entre $ -5 $ m e $ 5 $ m, repetindo o padrão a cada 1 segundo.
Observação: Como não posso desenhar aqui, recomendo usar ferramentas como o Desmos ou GeoGebra para visualizar o gráfico conforme os pontos calculados.
Resposta
Concluímos todas as partes do exercício, determinando amplitude, frequência, período, fase, posição, velocidade, aceleração e suas máximas, além de calcular valores específicos para $ t = 0,3 $ s e descrever como traçar o gráfico da posição em função do tempo.