Determinar a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de . O conteúdo envolvido é a derivada de quociente de funções e as derivadas das funções inversas e .
Passo 2
Para derivar um quociente, usamos a regra: se
, então
Passo 3
Precisamos das derivadas conhecidas
$$\frac{d}{dx}[\arcctg x]= -\frac{1}{1+x^2}.
$$
Essas fórmulas vêm da derivação das funções trigonométricas inversas.
Essas fórmulas vêm da derivação das funções trigonométricas inversas.
Passo 4
Identificando e , aplicamos a regra do quociente:
$$f’(x)=\frac{\arcctg x\cdot\frac{1}{1+x^2}-\arctg x\cdot\Bigl(-\frac{1}{1+x^2}\Bigr)}{(\arcctg x)^2}.
$$
Passo 5
Fatorando
no numerador, obtemos
Passo 6
Sabendo que no domínio desses arcos, podemos escrever a forma final simplificada.