Determinar a derivada das seguintes funções:
f(x)=arctg xarcctg x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de . O conteúdo envolvido é a derivada de quociente de funções e as derivadas das funções inversas e .

Passo 2

Para derivar um quociente, usamos a regra: se f(x)=u(x)v(x), então
f'(x)=v(x),u'(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Precisamos das derivadas conhecidas
$$\frac{d}{dx}[\arcctg x]= -\frac{1}{1+x^2}.
$$
Essas fórmulas vêm da derivação das funções trigonométricas inversas.

Passo 4

Identificando e , aplicamos a regra do quociente:
$$f’(x)=\frac{\arcctg x\cdot\frac{1}{1+x^2}-\arctg x\cdot\Bigl(-\frac{1}{1+x^2}\Bigr)}{(\arcctg x)^2}.
$$

Passo 5

Fatorando 11+x^2 no numerador, obtemos

Passo 6

Sabendo que no domínio desses arcos, podemos escrever a forma final simplificada.

Resposta

Exercícios relacionados