Determinar a derivada das seguintes funções:
f(x)=sen x+cos xsen x-cos x

Passo 1

A função é f(x) = sin x + cos xsin x - cos x. O conteúdo é derivada de quociente. Vamos precisar usar a regra do quociente e saber que ddx[sin x] = cos x e ddx[cos x] = -sin x.

Passo 2

Definimos u(x) = sin x + cos x e v(x) = sin x - cos x. Então
u'(x) = cos x - sin x
v'(x) = cos x + sin x

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 4

Substituímos u,u',v,v' na fórmula:
f'(x) = (cos x - sin x)(sin x - cos x) - (sin x + cos x)(cos x + sin x)(sin x - cos x)^2

Passo 5

Expandindo e simplificando o numerador:
(cos x - sin x)(sin x - cos x) = 2sin xcos x - 1,
(sin x + cos x)(cos x + sin x) = 2sin xcos x + 1,
logo o numerador total é
(2sin xcos x - 1) - (2sin xcos x + 1) = -2

Passo 6

Assim, chegamos a:
f'(x) = -2(sin x - cos x)^2

Resposta

f'(x) = -2(sin x - cos x)^2

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