Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
Temos que calcular o limite
Este problema envolve limites em várias variáveis e uso de expansões em série de Taylor para funções trigonométricas em ângulos pequenos.
Passo 2
Definimos
Quando
Passo 3
Introduzimos a mudança de variável
de modo que
Passo 4
Para
pequeno usamos as expansões de Taylor:
$$\cos(u)=1-\frac{u2}{2}+O(u4).
$$1-\cos(t)=\frac{t2}{2}+O(t4).
$$
Passo 5
Dividindo as expansões:
Isso mostra que o limite é independente do caminho e vale 2.
Resposta
2