Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.

Passo 1

Temos que calcular o limite
lim(x,y)to(-3,0) sinl(x^2y^2+y^8r)1-cosl(raizx^2y^2+y^8r)
Este problema envolve limites em várias variáveis e uso de expansões em série de Taylor para funções trigonométricas em ângulos pequenos.

Passo 2

Definimos
A = x^2y^2 + y^8
Quando (x,y)to(-3,0), temos Ato 9cdot0 +0 =0. Logo o limite original pode ser visto como
limAto0 sin(A)1-cos(raizA)

Passo 3

Introduzimos a mudança de variável
t = raizA,
de modo que A = t^2 e tto0^+. Assim a expressão fica
sin(t^2)1-cos(t)

Passo 4

Para t pequeno usamos as expansões de Taylor:
sin(u)=u+O(u^3),
$$\cos(u)=1-\frac{u2}{2}+O(u4).
cos(u)=1-u^22+O(u^4) \sin(t2)=t2+O(t^6),$$
$$1-\cos(t)=\frac{t2}{2}+O(t4).
$$

Passo 5

Dividindo as expansões:
sin(t^2)1-cos(t)=t^2+O(t^6)tfract^22+O(t^4)longrightarrowt^2t^2/2=2(quando tto0)
Isso mostra que o limite é independente do caminho e vale 2.

Resposta

2

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