Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
lim (x, y) (0,0) x yy-x^10.

Passo 1

O enunciado pede mostrar que o limite lim(x,y)to(0,0) x yy - x^10 não existe. O conteúdo é limites de funções de várias variáveis, e vamos precisar usar a ideia de comparar limites ao longo de diferentes caminhos.

Passo 2

Para provar que um limite em várias variáveis não existe, basta encontrar dois caminhos paramétricos que levem a (0,0) e ao longo dos quais a função tenha limites diferentes.

Passo 3

Considere o caminho y = x^10 + x^11. Substituindo na expressão da função, temos:
y = x^10 + x^11
Logo,
x yy - x^10 = x(x^10 + x^11)(x^10 + x^11) - x^10 = x^11(1 + x)x^11 = 1 + x
À medida que x to 0, isso tende a 1, de modo que o limite ao longo deste caminho é 1.

Passo 4

Agora escolha outro caminho, por exemplo y = x^10 + 2x^11. Substituindo, temos:
y = x^10 + 2x^11
Então,
x yy - x^10 = x(x^10 + 2x^11)(x^10 + 2x^11) - x^10 = x^11(1 + 2x)2x^11 = 1 + 2x2
Quando x to 0, esse valor tende a tfrac12, logo o limite ao longo deste caminho é tfrac12. Como obtivemos dois resultados diferentes, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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