Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
.
Passo 1
O enunciado pede mostrar que o limite
não existe. O conteúdo é limites de funções de várias variáveis, e vamos precisar usar a ideia de comparar limites ao longo de diferentes caminhos.
Passo 2
Para provar que um limite em várias variáveis não existe, basta encontrar dois caminhos paramétricos que levem a
e ao longo dos quais a função tenha limites diferentes.
Passo 3
Considere o caminho
. Substituindo na expressão da função, temos:
Logo,
À medida que
, isso tende a 1, de modo que o limite ao longo deste caminho é 1.
Passo 4
Agora escolha outro caminho, por exemplo
. Substituindo, temos:
Então,
Quando
, esse valor tende a
, logo o limite ao longo deste caminho é
. Como obtivemos dois resultados diferentes, o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe.