Determinar a derivada das seguintes funções:
f(x)=(x-1) e^x sen x

Passo 1

Resumo da questão: temos a função f(x) = (x-1)e^xsin x. O conteúdo é cálculo de derivada, envolvendo produto de funções, exponencial e trigonometria. Vamos usar a regra do produto e as derivadas de e^x e de sin x.

Passo 2

A função f(x) pode ser vista como produto de três fatores: u(x)=x-1, v(x)=e^x e w(x)=sin x. Para derivar um produto de três, usamos:
f'(x)=u'(x)v(x)w(x)+u(x)v'(x)w(x)+u(x)v(x)w'(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas individuais:
u'(x)=1,
v'(x)=e^x,
w'(x)=cos x

Passo 4

Substituindo na fórmula do produto:
f'(x)=1cdot e^xcdotsin x+(x-1)cdot e^xcdotsin x+(x-1)cdot e^xcdotcos x

Passo 5

Agrupando os dois primeiros termos:
1cdot e^xsin x+(x-1)e^xsin x=(1+x-1)e^xsin x=x e^xsin x
Logo obtemos:
f'(x)=x e^xsin x+(x-1)e^xcos x
Podemos ainda fatorar e^x.

Resposta

f'(x)=e^xl(x,sin x+(x-1)cos xr)

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