Se k for um inteiro positivo, encontre o raio de convergência da série de potências
sumn=0^infty cn x^k n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências sumn=0^infty cn,x^kn. Estamos no tema de séries de potências e vamos usar o critério de Cauchy–Hadamard, que envolve o limsup das raízes n-ésimas dos coeficientes.

Passo 2

Para lidar com o expoente kn, façamos a mudança de variável y = x^k. Assim a série em y fica sumn=0^infty cn,y^n. Isso nos permite aplicar diretamente o critério de Cauchy–Hadamard.

Passo 3

Pelo critério de Cauchy–Hadamard, o raio de convergência em y, que chamamos de Ry, satisfaz
Ry = 1limsupntoinfty l|cnr|^1/n

Passo 4

Voltando à variável x, a condição de convergência é |y|, ou seja, |x|^k < Ry. Daí
|x| < Ry^1/k

Passo 5

Portanto, o raio de convergência em x é
Rx = gl(1limsupntoinfty |cn|^1/ngr)^1/k

Resposta

R = l(limsupntoinfty |cn|^1/nr)^-1/k

Exercícios relacionados