Determinar as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\frac{\ln (\operatorname{sen}(x))}{\operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\ln\bigl(\sin(x)\bigr)}{\sin(x)}.
Aqui vamos usar a regra do quociente, bem como a regra da cadeia para \ln e a derivada de \sin(x).

Passo 2

Separe as funções
u(x)=\ln\bigl(\sin(x)\bigr), \quad v(x)=\sin(x).
Então
u'(x) =\frac{1}{\sin(x)}\cdot\cos(x) =\frac{\cos(x)}{\sin(x)},
pois \frac{d}{dx}\ln(t)=1/t\cdot t', e
v'(x)=\cos(x),
pois \tfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).

Passo 3

Aplique a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.

Passo 4

Substituindo u, u', v e v', vem
f'(x) =\frac{\displaystyle \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\cdot\sin(x) -\ln\bigl(\sin(x)\bigr)\cdot\cos(x)}{\sin^{2}(x)} =\frac{\cos(x)-\cos(x)\,\ln\bigl(\sin(x)\bigr)}{\sin^{2}(x)} =\frac{\cos(x)\bigl(1-\ln(\sin(x))\bigr)}{\sin^{2}(x)}.

Resposta

f'(x)=\frac{\cos(x)\bigl(1-\ln(\sin(x))\bigr)}{\sin^{2}(x)}.

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