Determinar as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\frac{2 x}{\sqrt{x^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Aqui vamos aplicar as regras de derivação de produto e cadeia, além da regra de potência para expressões do tipo (x^{2}+1)^{n}.

Passo 2

Reescrevemos f(x) como produto de duas funções mais simples:
f(x)=2x\,(x^{2}+1)^{-\tfrac12}.
Assim podemos usar diretamente a regra do produto.

Passo 3

Seja
u(x)=2x,\quad v(x)=(x^{2}+1)^{-\tfrac12}.
Então
u'(x)=2
e, pela regra da cadeia e potência,
v'(x)=-\tfrac12\,(x^{2}+1)^{-\tfrac32}\cdot 2x =-\frac{x}{(x^{2}+1)^{\tfrac32}}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto f'=u'v+uv', obtemos
f'(x) =2\,(x^{2}+1)^{-\tfrac12} +2x\left(-\frac{x}{(x^{2}+1)^{\tfrac32}}\right).

Passo 5

Simplificamos cada termo:
2\,(x^{2}+1)^{-\tfrac12} =\frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}}, \quad 2x\cdot\frac{-x}{(x^{2}+1)^{\tfrac32}} =-\frac{2x^{2}}{(x^{2}+1)^{\tfrac32}}.
Juntando sobre o mesmo denominador (x^{2}+1)^{\tfrac32},
f'(x) =\frac{2(x^{2}+1)-2x^{2}}{(x^{2}+1)^{\tfrac32}} =\frac{2}{(x^{2}+1)^{\tfrac32}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2}{(x^{2}+1)^{\tfrac32}}.

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