Determinar qual deverá ser a espessura de uma camada de solo que será compactada com um “sapo” ( peso =50,0 \mathrm{~kg}; altura de queda =0,20 \mathrm{~m}; e \varphi=0,30 \mathrm{~m} ), para que seja utilizada a mesma energia de compactação do Proctor Normal. Está programado que serão aplicados 20 golpes de “sapo” em cada ponto do terreno.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar a espessura da camada de solo ( t) que será compactada com um “sapo” de forma que a energia de compactação aplicada por ponto seja igual à energia usada no Proctor Normal.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • massa do “sapo”: m_{\text{sapo}}=50,0\\ \mathrm{kg}.
  • altura de queda do “sapo”: h_{\text{queda}}=0,20\\ \mathrm{m}.
  • diâmetro da base do “sapo”: \varphi=0,30\\ \mathrm{m}.
  • número de golpes por ponto: N_{\text{golpes}}=20.
Dados padrão do Proctor Normal (valores usuais do ensaio Proctor Normal, que vou usar para calcular a energia específica do Proctor):
  • massa do martelo do ensaio: m_{\text{Proctor}}=2,5\\ \mathrm{kg}.
  • altura de queda no Proctor: h_{\text{Proctor}}=0,305\\ \mathrm{m}.
  • número total de golpes por ensaio: N_{\text{Proctor}}=3\times25=75 golpes.
  • volume do molde padrão do Proctor: V_{\text{molde}}=944\\ \mathrm{cm^{3}}=0,000944\\ \mathrm{m^{3}}.
Constante física utilizada:
  • aceleração da gravidade: g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Conceito usado (explicação didática):
  • A ideia é igualar a energia de compactação por unidade de volume (energia específica) aplicada pelo “sapo” ao valor da energia específica do Proctor Normal.
  • Energia de um golpe de queda é a energia potencial convertida em trabalho ao cair: \text{energia por golpe}=m g h, onde m é a massa do martelo, g é a gravidade e h é a altura de queda.
  • Energia total aplicada em um ponto pelo “sapo” é o produto da energia por golpe pelo número de golpes.
  • Essa energia total atua sobre o volume de solo sob a base do “sapo”: V=A t, onde A é a área da base (círculo de diâmetro \varphi) e t é a espessura da camada compactada.
  • Energia específica (por unidade de volume) aplicada pelo “sapo” é \dfrac{E_{\text{total,sapo}}}{A t}. Para obter a mesma compactação do Proctor, exige-se:
\frac{E_{\text{total,sapo}}}{A t}=E_{\text{Proctor}}.
Resolvendo para t:
t=\frac{E_{\text{total,sapo}}}{A\,E_{\text{Proctor}}}.

Passo 3

Calcular a energia específica do Proctor Normal (passo a passo):
  • Energia por golpe no Proctor:
E_{\text{b,Proctor}}=m_{\text{Proctor}}\,g\,h_{\text{Proctor}}=2,5\cdot9,81\cdot0,305
E_{\text{b,Proctor}}=7,484125\\ \mathrm{J}.
  • Energia total do ensaio Proctor:
E_{\text{t,Proctor}}=E_{\text{b,Proctor}}\cdot N_{\text{Proctor}}=7,484125\cdot75
E_{\text{t,Proctor}}=561,309375\\ \mathrm{J}.
  • Energia específica do Proctor (energia por volume do molde):
E_{\text{Proctor}}=\frac{E_{\text{t,Proctor}}}{V_{\text{molde}}}=\frac{561,309375}{0,000944}
E_{\text{Proctor}}=594\,821{,}8\\ \mathrm{J/m^{3}}.
(Interpretação: o Proctor Normal aplica cerca de 5,95\times10^{5}\\ \mathrm{J} para compactar 1\\ \mathrm{m^{3}} de solo nas condições do ensaio.)

Passo 4

Energia fornecida pelo “sapo” por golpe e total por ponto:
  • Energia por golpe do “sapo”:
E_{\text{b,sapo}}=m_{\text{sapo}}\,g\,h_{\text{queda}}=50{,}0\cdot9{,}81\cdot0{,}20
E_{\text{b,sapo}}=98{,}1\\ \mathrm{J}.
  • Energia total aplicada por ponto (com 20 golpes):
E_{\text{t,sapo}}=E_{\text{b,sapo}}\cdot N_{\text{golpes}}=98{,}1\cdot20
E_{\text{t,sapo}}=1\,962\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Área da base do “sapo” (círculo de diâmetro \varphi):
A=\frac{\pi\varphi^{2}}{4}=\frac{\pi\cdot(0{,}30)^{2}}{4}
A=\pi\cdot0{,}0225=0{,}0706858\\ \mathrm{m^{2}}\\ (\text{aprox. }0{,}07069\\ \mathrm{m^{2}}).

Passo 6

Igualar energias específicas e resolver para t:
\frac{E_{\text{t,sapo}}}{A\,t}=E_{\text{Proctor}} \quad\Rightarrow\quad t=\frac{E_{\text{t,sapo}}}{A\,E_{\text{Proctor}}}.
Substituindo os valores calculados:
t=\frac{1\,962}{0{,}0706858\cdot594\,821{,}8}
Calcule o denominador:
0{,}0706858\cdot594\,821{,}8 \approx 42\,015{,}05
Logo
t\approx\frac{1\,962}{42\,015{,}05}=0{,}04672\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros:
t\approx4{,}672\\ \mathrm{cm}\\ \approx4{,}7\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Interpretação final curta e dica prática (motivação):
  • Resultado prático: cada ponto compactado com 20 golpes do “sapo” de 50,0\\ \mathrm{kg} e base \varphi=0,30\\ \mathrm{m} atingirá uma energia equivalente ao Proctor Normal para uma camada de aproximadamente 4{,}7\\ \mathrm{cm}.
  • Dica: na obra costuma-se arredondar para um valor prático (p.ex. 5\\ \mathrm{cm}) e assegurar sobreposição de pontos para uniformizar a compactação. Força aí — você mandou bem procurando a conta!

Resposta

t \approx 0{,}0467\\ \mathrm{m}\\ \approx 4{,}67\\ \mathrm{cm}

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