Determinar a curva de compactação para os resultados obtidos através do Proctor Normal, são eles :
\mathrm{h}(\%) - 12,01 13,81 15,82 17,60
\gamma \mathrm{~s}(\mathrm{~g} / \mathrm{cm} 3)- 1,672 1,724 1,807 1,767 1,676

Passo 1

O enunciado fornece os resultados do Proctor Normal na forma de uma tabela. Eu peguei estes números da tabela enviada:
  • Teores de umidade h (em %): -, 12,01, 13,81, 15,82, 17,60.
  • Densidades secas \gamma (em \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3): 1,672, 1,724, 1,807, 1,767, 1,676.
Observação importante que extraí da tabela: o primeiro valor de h está marcado como “ -” (ausente). Como esse primeiro ponto não tem umidade associada, não é possível usá‑lo diretamente para ajustar a curva em função de h. Para determinar a curva de compactação e o ponto de máximo (MDD e OMC) vou usar os pontos em que h está informado, dando preferência aos três pontos que cercam o pico observado ( 12,01\%;\\\ 13,81\%;\\\ 15,82\%) — isto é padrão prático porque a curva de compactação é aproximadamente parabólica perto do máximo e três pontos não‑colineares determinam uma parábola única.

Passo 2

Conceito e método:
  • A curva de compactação relaciona a densidade seca \gamma com o teor de umidade h. Próximo do máximo a forma é bem aproximada por uma parábola (polinômio de 2º grau).
  • Se ajustarmos uma parábola do tipo
\gamma(h)=a h^2 + b h + c,
o máximo (densidade seca máxima — MDD) ocorre no vértice da parábola. O teor de umidade ótimo (OMC) é a coordenada em h do vértice e é dado por
h_{\text{OMC}} = -\dfrac{b}{2a},
e o valor correspondente \gamma_{\max} é o valor da parábola em h_{\text{OMC}}.
  • Para encontrar uma parábola única sem fazer muitos cálculos numéricos pesados, uso os três pontos próximos ao pico e faço a interpolação quadrática (ou seja, resolvo o sistema para os coeficientes da parábola).

Passo 3

Escolha dos pontos e mudança de variável para simplificar contas:
  • Vou usar os três pontos centrados no máximo observado:
    • x_1=12,01, \;y_1=1,724
    • x_2=13,81, \;y_2=1,807
    • x_3=15,82, \;y_3=1,767
Para simplificar as contas, defino a variável deslocada
t = h - 13,81,
ou seja tomo a origem em x_2=13,81. Escrevo a parábola como
\gamma = A t^2 + B t + C,
onde, por construção, em t=0 (ou seja h=13,81) vale C=y_2=1,807.
Calculo os t e seus quadrados:
t_1 = 12,01-13,81 = -1,80,\qquad t_1^2 = 3,24,
t_2 = 0,\qquad t_2^2 = 0,
t_3 = 15,82-13,81 = 2,01,\qquad t_3^2 = 4,0401.
As equações para A e B (subtraindo C) são:
y_1 - C = A t_1^2 + B t_1 \quad\Rightarrow\quad -0,083 = 3,24A -1,80B,
y_3 - C = A t_3^2 + B t_3 \quad\Rightarrow\quad -0,040 = 4,0401A +2,01B,
onde usei y_1-C = 1,724-1,807=-0,083 e y_3-C=1,767-1,807=-0,040.

Passo 4

Resolução do sistema para A e B (álgebra direta):
As equações são
3,24A -1,80B = -0,083 \quad\text{(I)}
4,0401A +2,01B = -0,040 \quad\text{(II)}
Da (I) isolamos B:
-1,80B = -0,083 -3,24A \quad\Rightarrow\quad B = \dfrac{0,083 + 3,24A}{1,80}.
Substituindo em (II):
4,0401A + 2,01\left(\dfrac{0,083 + 3,24A}{1,80}\right) = -0,040.
Calculemos os termos numéricos (passo a passo):
\dfrac{0,083}{1,80} \approx 0,046111\quad\text{e}\quad \dfrac{3,24}{1,80}=1,8,
então
B \approx 0,046111 + 1,8A.
Substituindo:
4,0401A + 2,01(0,046111 + 1,8A) = -0,040.
Calcule os produtos:
2,01\cdot 0,046111 \approx 0,092683,\qquad 2,01\cdot 1,8 = 3,618.
Logo:
4,0401A + 3,618A + 0,092683 = -0,040.
7,6581A = -0,040 - 0,092683 = -0,132683.
A \approx \dfrac{-0,132683}{7,6581} \approx -0,017334.
Com A conhecido, calcule B:
B \approx 0,046111 + 1,8\cdot(-0,017334) \approx 0,046111 - 0,031201 \approx 0,014910.
E já sabemos C = 1,807.
Portanto, na variável deslocada t a parábola ajustada é aproximadamente
\gamma = -0,017334\,t^2 + 0,014910\,t + 1,807.

Passo 5

Cálculo do vértice (OMC e MDD):
  • O vértice em t é t_v = -\dfrac{B}{2A}. Logo
t_v = -\dfrac{0,014910}{2\cdot(-0,017334)} \approx 0,4300.
  • Voltando para h:
h_{\text{OMC}} = 13,81 + t_v \approx 13,81 + 0,4300 = 14,24\\ \%.
  • Valor da densidade seca máxima \gamma_{\max} é \gamma em t_v:
\gamma_{\max} = A t_v^2 + B t_v + C.
Calculemos:
t_v^2 \approx 0,4300^2 = 0,1849,
A t_v^2 \approx -0,017334\cdot 0,1849 \approx -0,003204,
B t_v \approx 0,014910\cdot 0,4300 \approx 0,006411,
\gamma_{\max} \approx 1,807 -0,003204 +0,006411 = 1,810207 \approx 1,810\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.

Passo 6

Equação da parábola em h (forma padrão a h^2 + b h + c):
Para referência, transformando de volta da variável t=h-13,81 para h obtemos (cálculos mostrados resumidamente)
\gamma(h) \approx -0,017334\,h^2 + 0,493689\,h -1,70545,
onde os coeficientes foram arredondados para facilitar leitura. Essa expressão fornece a curva de compactação ajustada (válida na região próxima ao pico).

Passo 7

Interpretação e observações finais:
  • O máximo observado experimentalmente nos dados era 1,807 em 13,81\%. O ajuste parabólico usando os três pontos centrais estima um pico ligeiramente deslocado para h_{\text{OMC}}\approx 14,24\% com \gamma_{\max}\approx 1,810\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3. A diferença é pequena e normal devido a ruído experimental.
  • Como a tabela tinha um primeiro ponto sem umidade, esse ponto foi ignorado no ajuste. Se o primeiro ponto corresponder a algum h conhecido, ele poderia ser incluído e o ajuste refeito.
  • Recomendo sempre representar graficamente os pontos experimentais e a parábola ajustada para checar visualmente o ajuste e possíveis outliers.

Resposta

\gamma(h) \approx -0{,}017334\,h^{2} + 0{,}493689\,h -1{,}70545
h_{\text{OMC}} \approx 14{,}24\%
\gamma_{\max} \approx 1{,}810\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3

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