Determinar a curva de compactação para os resultados obtidos através do Proctor Normal, são eles :
-
12,01
13,81
15,82
17,60
1,672
1,724
1,807
1,767
1,676
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- | 12,01 | 13,81 | 15,82 | 17,60 |
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1,672 | 1,724 | 1,807 | 1,767 | 1,676 |
Passo 1
O enunciado fornece os resultados do Proctor Normal na forma de uma tabela. Eu peguei estes números da tabela enviada:
- Teores de umidade
(em %): , , , , . - Densidades secas
(em ): , , , , .
Observação importante que extraí da tabela: o primeiro valor de
está marcado como “
” (ausente). Como esse primeiro ponto não tem umidade associada, não é possível usá‑lo diretamente para ajustar a curva em função de
. Para determinar a curva de compactação e o ponto de máximo (MDD e OMC) vou usar os pontos em que
está informado, dando preferência aos três pontos que cercam o pico observado (
) — isto é padrão prático porque a curva de compactação é aproximadamente parabólica perto do máximo e três pontos não‑colineares determinam uma parábola única.
Passo 2
Conceito e método:
- A curva de compactação relaciona a densidade seca
com o teor de umidade . Próximo do máximo a forma é bem aproximada por uma parábola (polinômio de 2º grau). - Se ajustarmos uma parábola do tipo
o máximo (densidade seca máxima — MDD) ocorre no vértice da parábola. O teor de umidade ótimo (OMC) é a coordenada em
do vértice e é dado por
e o valor correspondente
é o valor da parábola em
.
- Para encontrar uma parábola única sem fazer muitos cálculos numéricos pesados, uso os três pontos próximos ao pico e faço a interpolação quadrática (ou seja, resolvo o sistema para os coeficientes da parábola).
Passo 3
Escolha dos pontos e mudança de variável para simplificar contas:
- Vou usar os três pontos centrados no máximo observado:
-
, -
, -
,
-
Para simplificar as contas, defino a variável deslocada
ou seja tomo a origem em
. Escrevo a parábola como
onde, por construção, em
(ou seja
) vale
.
Calculo os
e seus quadrados:
As equações para
e
(subtraindo
) são:
onde usei
e
.
Passo 4
Resolução do sistema para
e
(álgebra direta):
As equações são
As equações são
Da (I) isolamos
:
Substituindo em (II):
Calculemos os termos numéricos (passo a passo):
então
Substituindo:
Calcule os produtos:
Logo:
Com
conhecido, calcule
:
E já sabemos
.
Portanto, na variável deslocada
a parábola ajustada é aproximadamente
Passo 5
Cálculo do vértice (OMC e MDD):
- O vértice em
é . Logo
- Voltando para
:
- Valor da densidade seca máxima
é em :
Calculemos:
Passo 6
Equação da parábola em
(forma padrão
):
Para referência, transformando de volta da variável para
obtemos (cálculos mostrados resumidamente)
Para referência, transformando de volta da variável
onde os coeficientes foram arredondados para facilitar leitura. Essa expressão fornece a curva de compactação ajustada (válida na região próxima ao pico).
Passo 7
Interpretação e observações finais:
- O máximo observado experimentalmente nos dados era
em . O ajuste parabólico usando os três pontos centrais estima um pico ligeiramente deslocado para com . A diferença é pequena e normal devido a ruído experimental. - Como a tabela tinha um primeiro ponto sem umidade, esse ponto foi ignorado no ajuste. Se o primeiro ponto corresponder a algum
conhecido, ele poderia ser incluído e o ajuste refeito. - Recomendo sempre representar graficamente os pontos experimentais e a parábola ajustada para checar visualmente o ajuste e possíveis outliers.