Quantas passadas de um compactador tipo “sapo” ( peso =108,0 kg ; altura de queda =0,40 \mathrm{~m}; e \varphi=0,32 \mathrm{~m} ) serão necessárias para desenvolver uma energia de compactação igual à do ensaio Proctor Normal, se a compactação no campo for feita em camadas de 0,15 \mathrm{~m} de espessura?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
O enunciado pede: quantas passadas do compactador tipo “sapo” são necessárias para desenvolver uma energia de compactação igual à do ensaio Proctor Normal, quando a camada no campo tem espessura 0,15\\ \mathrm{m}.
Dados fornecidos no enunciado:
  • massa do compactador (sapo): m_{\text{sapo}} = 108,0\\ \mathrm{kg}.
  • altura de queda do sapo: h_{\text{sapo}} = 0,40\\ \mathrm{m}.
  • diâmetro da base do sapo: \varphi = 0,32\\ \mathrm{m}. (Interpreto \varphi como diâmetro da placa do sapo.)
  • espessura da camada no campo: t = 0,15\\ \mathrm{m}.
O enunciado não fornece explicitamente os detalhes do ensaio Proctor Normal; portanto vou usar os parâmetros padrão do Proctor Normal (Standard Proctor) comumente adotados:
  • massa do martelo do Proctor: m_{P} = 2,5\\ \mathrm{kg}.
  • altura de queda do martelo do Proctor: h_{P} = 0,305\\ \mathrm{m}.
  • número de golpes por camada no Proctor: n_{b} = 25.
  • número de camadas no molde do Proctor: n_{L} = 3.
  • volume do molde de 4 in (usado no Proctor standard): V_{m} = 0,000944\\ \mathrm{m^{3}}.
Objetivo numérico: encontrar o número inteiro de passadas N do sapo que iguala (ou excede) a energia de compactação por unidade de volume do Proctor Normal.

Passo 2

Explicação da ideia e fórmulas que vamos usar.
Conceito: a energia mecânica fornecida por um impacto (por exemplo, um golpe do martelo) é, na aproximação simples, a energia potencial gravitacional convertida em trabalho:
E_{\text{golpe}} = m g h,
onde m é a massa do equipamento, g é a aceleração da gravidade e h é a altura de queda. Aqui usaremos g = 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Para comparar com o Proctor, precisamos da energia aplicada por unidade de volume de solo. Para o Proctor Normal essa energia específica é:
E_{\text{Proctor}} = \frac{m_{P}\,g\,h_{P}\; n_{b}\; n_{L}}{V_{m}}.
Definições:
  • m_{P}: massa do martelo do Proctor.
  • h_{P}: altura de queda do martelo do Proctor.
  • n_{b}: golpes por camada no molde do Proctor.
  • n_{L}: número de camadas no molde do Proctor.
  • V_{m}: volume do molde do Proctor.
Vou agora calcular E_{\text{Proctor}} numericamente, mostrando passo a passo.

Passo 3

Cálculo da energia específica do Proctor Normal.
Primeiro calculo a energia total aplicada no molde durante o ensaio Proctor:
E_{\text{total,Proctor}} = m_{P}\,g\,h_{P}\; n_{b}\; n_{L}.
Substituindo os valores:
m_{P} = 2,5\\ \mathrm{kg},\quad g = 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}},\quad h_{P} = 0,305\\ \mathrm{m},
n_{b} = 25,\quad n_{L} = 3.
Cálculo passo a passo:
m_{P}g = 2,5\cdot 9,81 = 24,525\\ (\mathrm{N}),
m_{P}g h_{P} = 24,525\cdot 0,305 = 7,480125\\ (\mathrm{J})\\ \text{por golpe},
E_{\text{total,Proctor}} = 7,480125\cdot 25\cdot 3 = 561,009375\\ \mathrm{J}.
Agora a energia específica (por unidade de volume) do Proctor:
E_{\text{Proctor}} = \frac{561,009375}{0,000944} \approx 594\,628\\ \mathrm{J/m^{3}}.

Passo 4

Cálculo da energia por passada do sapo por unidade de volume de camada de campo.
Energia por passada (por golpe) do sapo:
E_{\text{pass}} = m_{\text{sapo}}\,g\,h_{\text{sapo}}.
Substituindo:
m_{\text{sapo}} = 108,0\\ \mathrm{kg},\quad g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}},\quad h_{\text{sapo}}=0,40\\ \mathrm{m}.
Cálculo:
m_{\text{sapo}}g = 108,0\cdot 9,81 = 1\,059,48\\ (\mathrm{N}),
E_{\text{pass}} = 1\,059,48\cdot 0,40 = 423,792\\ \mathrm{J}.
Agora precisamos da energia específica que uma passada fornece sobre a espessura de camada t. Para isso calculamos o volume de solo afetado por passada igual à área da base do sapo vezes a espessura t.
Área da base do sapo (assumindo círculo de diâmetro \varphi):
A = \pi\left(\frac{\varphi}{2}\right)^{2}.
Substituindo \varphi = 0,32\\ \mathrm{m}:
\frac{\varphi}{2} = 0,16\\ \mathrm{m},
A = \pi\cdot (0,16)^{2} = \pi\cdot 0,0256 \approx 0,0804248\\ \mathrm{m^{2}}.
Volume de solo compactado por passada (camada de espessura t = 0,15\\ \mathrm{m}):
V_{\text{pass}} = A\; t = 0,0804248\cdot 0,15 \approx 0,0120637\\ \mathrm{m^{3}}.
Energia específica por passada:
E_{\text{pass,esp}} = \frac{E_{\text{pass}}}{V_{\text{pass}}} = \frac{423,792}{0,0120637} \approx 35\,132{,}8\\ \mathrm{J/m^{3}}.

Passo 5

Número de passadas necessárias.
Precisamos de N tal que N\cdot E_{\text{pass,esp}} \ge E_{\text{Proctor}}. Portanto:
N = \frac{E_{\text{Proctor}}}{E_{\text{pass,esp}}} = \frac{594\,628}{35\,132{,}8} \approx 16,92.
Como não é possível dar uma fração de passada, e para garantir que a energia aplicada seja pelo menos a do Proctor, arredondamos para cima:
N = 17\\ \text{passadas}.

Resposta

17 passadas.

Exercícios relacionados