Determinar a dimensão e a uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
d) (x, y, z) in R^3 ; x=3 y e z=-y
e) (x, y, z) in R^3 ; 2 x-y+3 z=0
27) Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais M(2,2.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão e uma base para dois subespaços de R^3 dados por restrições lineares (itens d e e) e, em seguida, para certos subespaços de M2times2 (item 27). Para os subespaços de R^3 vamos parametrizar a solução das equações dadas, identificar variáveis livres e extrair vetores geradores.

Passo 2

Sempre que um subespaço de R^3 vier descrito por equações lineares, fazemos:
– Escrever as equações em forma de sistema.
– Escolher variáveis livres (parâmetros).
– Expressar as demais variáveis em função desses parâmetros.
– Escrever o vetor genérico como combinação linear de vetores coluna, cujos coeficientes são os parâmetros livres.
– Esses vetores coluna constituem uma base e o número deles é a dimensão do subespaço.

Passo 3

Item d:
(x,y,z)inR^3;;x=3y,;z=-y
Escolhemos y como parâmetro livre, digamos y=t. Então
x=3t, y=t, z=-t,
ou seja
(x,y,z)=t,(3,1,-1)
Logo o subespaço é gerado por um único vetor, tem dimensão 1, e podemos tomar como base (3,1,-1).

Passo 4

Item e:
(x,y,z)inR^3;;2x-y+3z=0
Temos uma equação em três variáveis, então dimensão 2. Escolhemos dois parâmetros livres, por exemplo y=s e z=t. Da equação
2x=y-3z;Longrightarrow;x=tfrac12,s-tfrac32,t
Assim
(x,y,z) = sl(tfrac12,1,0r)+tl(-tfrac32,0,1r)
Para evitar frações, podemos reescrever os vetores multiplicando por 2:
s(1,2,0)+t(-3,0,2)
Portanto uma base conveniente é (1,2,0),,(-3,0,2) e a dimensão é 2.

Passo 5

Item 27: não há descrição dos subespaços de M2times2 no enunciado fornecido. Sem especificações das condições que definem esses subespaços, não é possível determinar dimensão nem bases.

Resposta

d) dim=1, base (3,1,-1)
e) dim=2, base (1,2,0),,(-3,0,2)
27) Dados os subespaços de M2times2 não foram especificados, não é possível resolver.

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