Determinar a dimensão e a uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
d)
e
e)
27) Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais
.
d)
e)
27) Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais
Passo 1
O enunciado pede a dimensão e uma base para dois subespaços de
dados por restrições lineares (itens d e e) e, em seguida, para certos subespaços de
(item 27). Para os subespaços de
vamos parametrizar a solução das equações dadas, identificar variáveis livres e extrair vetores geradores.
Passo 2
Sempre que um subespaço de
vier descrito por equações lineares, fazemos:
– Escrever as equações em forma de sistema.
– Escolher variáveis livres (parâmetros).
– Expressar as demais variáveis em função desses parâmetros.
– Escrever o vetor genérico como combinação linear de vetores coluna, cujos coeficientes são os parâmetros livres.
– Esses vetores coluna constituem uma base e o número deles é a dimensão do subespaço.
– Escrever as equações em forma de sistema.
– Escolher variáveis livres (parâmetros).
– Expressar as demais variáveis em função desses parâmetros.
– Escrever o vetor genérico como combinação linear de vetores coluna, cujos coeficientes são os parâmetros livres.
– Esses vetores coluna constituem uma base e o número deles é a dimensão do subespaço.
Passo 3
Item d:
Escolhemos
como parâmetro livre, digamos
. Então
ou seja
Logo o subespaço é gerado por um único vetor, tem dimensão 1, e podemos tomar como base
.
Passo 4
Item e:
Temos uma equação em três variáveis, então dimensão 2. Escolhemos dois parâmetros livres, por exemplo
e
. Da equação
Assim
Para evitar frações, podemos reescrever os vetores multiplicando por 2:
Portanto uma base conveniente é
e a dimensão é 2.
Passo 5
Item 27: não há descrição dos subespaços de
no enunciado fornecido. Sem especificações das condições que definem esses subespaços, não é possível determinar dimensão nem bases.
Resposta
d)
, base
e) , base
27) Dados os subespaços de não foram especificados, não é possível resolver.
e)
27) Dados os subespaços de