Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
Passo 1
O enunciado define o subespaço
O conteúdo aqui é o cálculo da dimensão e de uma base do núcleo (null space) de uma forma linear em
. Vamos usar o Teorema da Dimensão (dimensão do espaço original menos o número de equações independentes) e resolver a equação para parametrizar todos os vetores de
.
Passo 2
Como temos uma única equação linear homogênea em três incógnitas, o posto dessa forma linear é
(assumindo que
não é trivial). Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (Rank–Nullity),
Passo 3
Para encontrar uma base, resolvemos
para
em função de
e
. Isolando
,
Tomamos
e
como parâmetros livres, digamos
e
. Então
Passo 4
Os vetores
e
são linharesmente independentes e geram
. Para evitar frações, podemos multiplicá-los por
e obter a base com coordenadas inteiras:
Resposta
dimensão de
:
uma base de
: