Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
S7=(x, y, z) in R^3 mid 3 x-2 y+5 z=0

Passo 1

O enunciado define o subespaço
S7 = (x,y,z)inR^3 mid 3x - 2y + 5z = 0
O conteúdo aqui é o cálculo da dimensão e de uma base do núcleo (null space) de uma forma linear em R^3. Vamos usar o Teorema da Dimensão (dimensão do espaço original menos o número de equações independentes) e resolver a equação para parametrizar todos os vetores de S7.

Passo 2

Como temos uma única equação linear homogênea em três incógnitas, o posto dessa forma linear é 1 (assumindo que 3x-2y+5z não é trivial). Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (Rank–Nullity),
dim(S7) = 3 - 1 = 2

Passo 3

Para encontrar uma base, resolvemos
3x - 2y + 5z = 0
para x em função de y e z. Isolando x,
x = 2y - 5z3
Tomamos y e z como parâmetros livres, digamos y=s e z=t. Então
(x,y,z) = l(tfrac2s-5t3,,s,,tr) = sl(tfrac23,1,0r) + tl(-tfrac53,0,1r)

Passo 4

Os vetores l(tfrac23,1,0r) e l(-tfrac53,0,1r) são linha­res­mente independentes e geram S7. Para evitar frações, podemos multiplicá-los por 3 e obter a base com coordenadas inteiras:
(2,3,0) e (-5,0,3)

Resposta

dimensão de S7: 2
uma base de S7: (2,3,0),;(-5,0,3)

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