Determine se a expressão dada faz sentido matemático. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a expressão
faz sentido matemático. Aqui o conteúdo é produto interno (ou produto escalar) de vetores e soma de vetores num mesmo espaço .
faz sentido matemático. Aqui o conteúdo é produto interno (ou produto escalar) de vetores e soma de vetores num mesmo espaço
Passo 2
Para começarmos, olhamos para a parte interna dos parênteses, isto é,
. A soma de vetores só está bem definida se
e
pertencem ao mesmo espaço vetorial, digamos
. Nesse caso, o resultado
é outro vetor em
.
Passo 3
Agora que sabemos que
é um vetor em
, podemos aplicar o produto interno com
. O produto interno
só está definido se
e
estiverem no mesmo
. Como já exigimos
, a operação
está bem definida e resulta em um escalar.
está bem definida e resulta em um escalar.
Passo 4
Além disso, graças à linearidade do produto interno, podemos distribuir o ponto sobre a soma:
Isso reforça que
realmente produz um vetor sobre o qual faz sentido calcular um produto interno com
.
Resposta
A expressão faz sentido matemático sempre que
,
e
pertencerem ao mesmo espaço vetorial
. Nesse caso,
é um vetor em
e o produto interno com
está bem definido, resultando em um escalar.