Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de M(2,2) :
\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] ; a+d=b+c\right\}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre o subconjunto de matrizes 2\times2
\left\{\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} ; a+d=b+c\right\}.
Vou listar claramente o que foi dado e o que se deve determinar:
  • Dados: uma matriz genérica 2\times2 com entradas \,a,b,c,d\in\mathbb{R}\, (ou outro corpo, não especificado), sujeita à restrição linear \,a+d=b+c.
  • Pedidos:
    1. Determinar a dimensão desse subconjunto (visto como subespaço vetorial de M(2,2)).
    2. Fornecer uma base para esse subespaço.

Passo 2

Entendendo as variáveis e a restrição: uma matriz 2\times2 tem quatro entradas independentes a,b,c,d. A condição dada é a equação linear
a+d=b+c.
Isso é uma única equação linear entre as quatro incógnitas a,b,c,d. Sempre que temos n variáveis sujeitas a k equações lineares independentes (com k menor que n), o espaço de soluções tem dimensão n-k (isso vem do princípio conta de graus de liberdade / do teorema da dimensão do núcleo). Aqui n=4 e, presumindo que a equação é não-trivial, k=1. Portanto esperamos dimensão
4-1=3.
Vou agora construir explicitamente uma parametrização e uma base para justificar esse raciocínio de forma concreta.

Passo 3

Parametrização: resolvo a restrição para uma das variáveis. Da equação
a+d=b+c
posso isolar d:
d = b + c - a.
Logo uma matriz qualquer do subespaço pode ser escrita como
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & b+c-a\end{pmatrix}.
Agora vou separar os coeficientes a,b,c para escrever como combinação linear de matrizes fixas (isso já constrói uma base natural). Reescrevendo:
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & b+c-a\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Interpretação da expressão: isto mostra que todo vetor (matriz) do subespaço é uma combinação linear das três matrizes
A_1=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},\quad A_2=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Ou seja, essas três matrizes geram o subespaço. Agora preciso mostrar que elas são linearmente independentes, para então concluir que formam uma base.]

Passo 5

Verificação de independência linear: suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha A_1 + \beta A_2 + \gamma A_3 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Escrevendo as entradas, isso dá o sistema (entrada por entrada)
  • entrada (1,1): \alpha = 0,
  • entrada (1,2): \beta = 0,
  • entrada (2,1): \gamma = 0.
    As entradas restantes ficam consistentes automaticamente (por exemplo a (2,2) seria -\alpha+\beta+\gamma=0, que é verdadeira quando \alpha=\beta=\gamma=0). Como a única combinação linear que dá a matriz nula é a combinação trivial \alpha=\beta=\gamma=0, as matrizes A_1,A_2,A_3 são linearmente independentes.]

Passo 6

Conclusão sobre base e dimensão: vimos que
  • as três matrizes A_1,A_2,A_3 geram o subespaço (spanning),
  • elas são linearmente independentes.
    Portanto formam uma base do subespaço. Como a base tem três elementos, a dimensão do subespaço é 3, em acordo com o argumento de contagem anterior.

Passo 7

Exemplo numérico (para fixar): escolha a=2,\\ b=1,\\ c=3. Então d=b+c-a=1+3-2=2. A matriz
\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix}
pode ser obtida como
2A_1 + 1A_2 + 3A_3 = 2\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} +1\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} +3\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},
o que confirma na prática a representação geral que construímos.]

Resposta

\dim=3
\displaystyle \text{Base }=\left\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}\right\}]

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