Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de
:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre o subconjunto de matrizes
Vou listar claramente o que foi dado e o que se deve determinar:
- Dados: uma matriz genérica
com entradas (ou outro corpo, não especificado), sujeita à restrição linear . - Pedidos:
- Determinar a dimensão desse subconjunto (visto como subespaço vetorial de
). - Fornecer uma base para esse subespaço.
- Determinar a dimensão desse subconjunto (visto como subespaço vetorial de
Passo 2
Entendendo as variáveis e a restrição: uma matriz
tem quatro entradas independentes
. A condição dada é a equação linear
Isso é uma única equação linear entre as quatro incógnitas
. Sempre que temos
variáveis sujeitas a
equações lineares independentes (com
menor que
), o espaço de soluções tem dimensão
(isso vem do princípio conta de graus de liberdade / do teorema da dimensão do núcleo). Aqui
e, presumindo que a equação é não-trivial,
. Portanto esperamos dimensão
Vou agora construir explicitamente uma parametrização e uma base para justificar esse raciocínio de forma concreta.
Passo 3
Parametrização: resolvo a restrição para uma das variáveis. Da equação
posso isolar
:
Logo uma matriz qualquer do subespaço pode ser escrita como
Agora vou separar os coeficientes
para escrever como combinação linear de matrizes fixas (isso já constrói uma base natural). Reescrevendo:
Passo 4
Interpretação da expressão: isto mostra que todo vetor (matriz) do subespaço é uma combinação linear das três matrizes
Ou seja, essas três matrizes geram o subespaço. Agora preciso mostrar que elas são linearmente independentes, para então concluir que formam uma base.]
Passo 5
Verificação de independência linear: suponha que existam escalares
tais que
Escrevendo as entradas, isso dá o sistema (entrada por entrada)
- entrada (1,1):
, - entrada (1,2):
, - entrada (2,1):
.
As entradas restantes ficam consistentes automaticamente (por exemplo a (2,2) seria, que é verdadeira quando ). Como a única combinação linear que dá a matriz nula é a combinação trivial , as matrizes são linearmente independentes.]
Passo 6
Conclusão sobre base e dimensão: vimos que
- as três matrizes
geram o subespaço (spanning), - elas são linearmente independentes.
Portanto formam uma base do subespaço. Como a base tem três elementos, a dimensão do subespaço é, em acordo com o argumento de contagem anterior.
Passo 7
Exemplo numérico (para fixar): escolha
. Então
. A matriz
pode ser obtida como
o que confirma na prática a representação geral que construímos.]