Considere o operador linear T: P2 P2 definido por T(x+y t+z t^2)=y+x t+z t^2. Determine:
(a) O polinômio característico de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um operador linear que atua em polinômios de grau até 2, ou seja, . Esse operador transforma um polinômio da forma em . Nosso objetivo aqui é encontrar o polinômio característico desse operador. Para isso, vamos precisar trabalhar com matrizes que representem e aplicar alguns conceitos de Álgebra Linear, como determinantes e polinômios características.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher uma base para o espaço x y z . Uma base comum para esse espaço é . Com essa base, cada polinômio pode ser representado como um vetor coluna .

Passo 3

Agora, vamos determinar como o operador age sobre cada vetor da base. Aplicando a cada elemento da base:

Passo 4

Com essas imagens, podemos montar a matriz representativa de [T] = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 na base . Cada coluna da matriz será formada pelas coordenadas das imagens dos vetores da base:
Aqui, a primeira coluna corresponde a , a segunda a e a terceira a .

Passo 5

Agora, para encontrar o polinômio característico de [T] - lambda I = -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda , precisamos calcular o polinômio característico da matriz . O polinômio característico de uma matriz é dado por , onde é um escalar e é a matriz identidade.
Então, montamos :

Passo 6

Vamos calcular o determinante dessa matriz:
det([T] - lambda I) = -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda
Podemos expandir esse determinante usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Note que a matriz é triangular em relação à terceira linha, então o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det([T] - lambda I) = (-lambda)(-lambda)(1 - lambda) - 1 cdot 1 cdot (1 - lambda) = (lambda^2)(1 - lambda) - (1 - lambda)
Simplificando:
det([T] - lambda I) = (lambda^2 - 1)(1 - lambda) = ( lambda - 1)(lambda + 1)(1 - lambda ) = -(lambda - 1)^2 (lambda + 1)

Passo 7

Simplificando ainda mais, podemos reescrever:
det([T] - lambda I) = -(lambda - 1)^2 (lambda + 1) = (lambda - 1)^2 (lambda + 1)
Como o sinal negativo pode ser absorvido na ordem dos termos, finalizamos com:
p(lambda) = (lambda - 1)^2 (lambda + 1)

Resposta

O polinômio característico de é .

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