Considere os subconjuntos de
e
.
Mostre que
e
são subespaços vetoriais de
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
e
são subespaços vetoriais de .
Conteúdo: definição de subespaço — precisamos verificar que cada conjunto não é vazio, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar.
e
são subespaços vetoriais de
Conteúdo: definição de subespaço — precisamos verificar que cada conjunto não é vazio, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar.
Passo 2
Uma parte
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se
- O vetor nulo de
está em . - Para quaisquer
, vale . - Para qualquer escalar
e qualquer , vale .
Passo 3
Verificação para
.
O vetor nulo satisfaz a condição
, pois
, logo
.
Sejam e
vetores em
. Então
O vetor nulo
Sejam
e nesse somatório obtemos de novo coordenadas iguais, ou seja
, de modo que
.
Para escalar, dados e
, temos
Para escalar, dados
e novamente as três coordenadas coincidem, logo
.
Portanto satisfaz os três critérios e é subespaço.
Portanto
Passo 4
Verificação para
.
O vetor nulo tem terceira coordenada zero, então
.
Sejam e
em
. Então
O vetor nulo
Sejam
cuja terceira coordenada é zero, logo
.
Para escalar, tomando e
, vem
Para escalar, tomando
que também satisfaz a condição
. Assim
é fechado sob soma e escalar, sendo subespaço.
Resposta
Mostramos que tanto
quanto
contêm o vetor nulo e são fechados sob soma e multiplicação escalar. Portanto,
e
são subespaços vetoriais de
.