Considere os subconjuntos de R^3, W1=(x, y, z) in R^3 / y=x=z e W2=(x, y, z) in R^3 / z= 0.
Mostre que W1 e W2 são subespaços vetoriais de R^3

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
W1=(x,y,z)inR^3mid y=x=z
e
W2=(x,y,z)inR^3mid z=0
são subespaços vetoriais de R^3.
Conteúdo: definição de subespaço — precisamos verificar que cada conjunto não é vazio, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Uma parte W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se
  1. O vetor nulo de V está em W.
  2. Para quaisquer u,vin W, vale u+vin W.
  3. Para qualquer escalar lambda e qualquer uin W, vale lambda uin W.

Passo 3

Verificação para W1.
O vetor nulo (0,0,0) satisfaz a condição y=x=z, pois 0=0=0, logo (0,0,0)in W1.
Sejam u=(x,x,x) e v=(x',x',x') vetores em W1. Então
u+v=(x,x,x)+(x',x',x')=(x+x',,x+x',,x+x'),
e nesse somatório obtemos de novo coordenadas iguais, ou seja (x+x')=(x+x')=(x+x'), de modo que u+vin W1.
Para escalar, dados lambdainR e u=(x,x,x), temos
lambda u=(lambda x,lambda x,lambda x),
e novamente as três coordenadas coincidem, logo lambda uin W1.
Portanto W1 satisfaz os três critérios e é subespaço.

Passo 4

Verificação para W2.
O vetor nulo (0,0,0) tem terceira coordenada zero, então (0,0,0)in W2.
Sejam u=(x,y,0) e v=(x',y',0) em W2. Então
u+v=(x+x',,y+y',,0+0)=(x+x',,y+y',,0),
cuja terceira coordenada é zero, logo u+vin W2.
Para escalar, tomando lambdainR e u=(x,y,0), vem
lambda u=(lambda x,lambda y,lambdacdot0)=(lambda x,lambda y,0),
que também satisfaz a condição z=0. Assim W2 é fechado sob soma e escalar, sendo subespaço.

Resposta

Mostramos que tanto W1 quanto W2 contêm o vetor nulo e são fechados sob soma e multiplicação escalar. Portanto, W1 e W2 são subespaços vetoriais de R^3.

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