Exercícios verdadeiro/falso
Nas partes (a)-(f), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) A equação vetorial de uma reta pode ser determinada a partir de um ponto qualquer na reta e um vetor não nulo paralelo à reta.
(b) A equação vetorial de um plano pode ser determinada a partir de um ponto qualquer no plano e um vetor não nulo paralelo ao plano.
(c) Todos os pontos de uma reta pela origem em
ou
são múltiplos escalares de qualquer vetor não nulo na reta.
(d) Todos os vetores solução do sistema linear
são ortogonais aos vetores linha da matriz
se, e só se,
.
(e) A solução geral do sistema linear não homogêneo
pode ser obtida somando
à solução geral do sistema linear homogêneo
.
(f) Se
e
são duas soluções do sistema linear não homogêneo
, então
é uma solução do sistema linear homogêneo correspondente.’
(a) A equação vetorial de uma reta pode ser determinada a partir de um ponto qualquer na reta e um vetor não nulo paralelo à reta.
(b) A equação vetorial de um plano pode ser determinada a partir de um ponto qualquer no plano e um vetor não nulo paralelo ao plano.
(c) Todos os pontos de uma reta pela origem em
(d) Todos os vetores solução do sistema linear
(e) A solução geral do sistema linear não homogêneo
(f) Se
Passo 1
Resumimos: temos seis afirmações sobre equações vetoriais de retas e planos e propriedades de sistemas lineares
. Vamos verificar cada uma, decidindo se é verdadeira ou falsa e justificando com conceitos de vetores de direção, subespaços gerados e propriedades de sistemas lineares.
Passo 2
A afirmação (a) diz: “A equação vetorial de uma reta pode ser determinada a partir de um ponto qualquer na reta e um vetor não nulo paralelo à reta.”
Em geometria vetorial, a reta é dada por , onde
é um ponto e
é vetor de direção. Logo, (a) é verdadeira.
Em geometria vetorial, a reta é dada por
Passo 3
A afirmação (b) diz: “A equação vetorial de um plano pode ser determinada a partir de um ponto qualquer no plano e um vetor não nulo paralelo ao plano.”
Para descrever um plano, precisamos de um ponto e dois vetores linearmente independentes
paralelos ao plano, ou de um ponto e um vetor normal
. Um único vetor paralelo não gera toda a dimensão 2 do plano. Logo, (b) é falsa.
Para descrever um plano, precisamos de um ponto
Passo 4
A afirmação (c) diz: “Todos os pontos de uma reta pela origem em
ou
são múltiplos escalares de qualquer vetor não nulo na reta.”
Uma reta que passa pela origem é um subespaço unidimensional gerado por qualquer vetor nessa reta, ou seja,
. Logo, (c) é verdadeira.
Uma reta que passa pela origem é um subespaço unidimensional gerado por qualquer vetor
Passo 5
A afirmação (d) diz: “Todos os vetores solução do sistema linear
são ortogonais aos vetores linha da matriz
se, e só se,
.”
Cada vetor linha de
satisfaz
. Para que seja ortogonal a
precisa ter
, o que só ocorre para todas as linhas se e somente se
. Logo, (d) é verdadeira.
Cada vetor linha
Passo 6
A afirmação (e) diz: “A solução geral do sistema linear não homogêneo
pode ser obtida somando
à solução geral do sistema linear homogêneo
.”
A forma correta é pegar uma solução particular de
e somá-la ao espaço nulo, ou seja,
. Não se soma
, mas um vetor
. Logo, (e) é falsa.
A forma correta é pegar uma solução particular
Passo 7
A afirmação (f) diz: “Se
e
são duas soluções do sistema linear não homogêneo
, então
é uma solução do sistema linear homogêneo correspondente.”
De fato,
De fato,
Logo, (f) é verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeira.
(b) Falsa.
(c) Verdadeira.
(d) Verdadeira.
(e) Falsa.
(f) Verdadeira.
(b) Falsa.
(c) Verdadeira.
(d) Verdadeira.
(e) Falsa.
(f) Verdadeira.