Exercícios verdadeiro/falso

Nas partes (a)-(f), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) A equação vetorial de uma reta pode ser determinada a partir de um ponto qualquer na reta e um vetor não nulo paralelo à reta.
(b) A equação vetorial de um plano pode ser determinada a partir de um ponto qualquer no plano e um vetor não nulo paralelo ao plano.
(c) Todos os pontos de uma reta pela origem em R^2 ou R^3 são múltiplos escalares de qualquer vetor não nulo na reta.
(d) Todos os vetores solução do sistema linear A x=b são ortogonais aos vetores linha da matriz A se, e só se, b=0.
(e) A solução geral do sistema linear não homogêneo A x=b pode ser obtida somando b à solução geral do sistema linear homogêneo A x=0.
(f) Se x1 e x2 são duas soluções do sistema linear não homogêneo A x=b, então x1-x2 é uma solução do sistema linear homogêneo correspondente.’

Passo 1

Resumimos: temos seis afirmações sobre equações vetoriais de retas e planos e propriedades de sistemas lineares Ax=b. Vamos verificar cada uma, decidindo se é verdadeira ou falsa e justificando com conceitos de vetores de direção, subespaços gerados e propriedades de sistemas lineares.

Passo 2

A afirmação (a) diz: “A equação vetorial de uma reta pode ser determinada a partir de um ponto qualquer na reta e um vetor não nulo paralelo à reta.”
Em geometria vetorial, a reta é dada por r(t)=p+tv, onde p é um ponto e vneq0 é vetor de direção. Logo, (a) é verdadeira.

Passo 3

A afirmação (b) diz: “A equação vetorial de um plano pode ser determinada a partir de um ponto qualquer no plano e um vetor não nulo paralelo ao plano.”
Para descrever um plano, precisamos de um ponto p e dois vetores linearmente independentes u,v paralelos ao plano, ou de um ponto e um vetor normal n. Um único vetor paralelo não gera toda a dimensão 2 do plano. Logo, (b) é falsa.

Passo 4

A afirmação (c) diz: “Todos os pontos de uma reta pela origem em R^2 ou R^3 são múltiplos escalares de qualquer vetor não nulo na reta.”
Uma reta que passa pela origem é um subespaço unidimensional gerado por qualquer vetor vneq0 nessa reta, ou seja, lambdavmidlambdainR. Logo, (c) é verdadeira.

Passo 5

A afirmação (d) diz: “Todos os vetores solução do sistema linear Ax=b são ortogonais aos vetores linha da matriz A se, e só se, b=0.”
Cada vetor linha ai de A satisfaz aicdotx=bi. Para que seja ortogonal a ai precisa ter aicdotx=0, o que só ocorre para todas as linhas se e somente se b=0. Logo, (d) é verdadeira.

Passo 6

A afirmação (e) diz: “A solução geral do sistema linear não homogêneo Ax=b pode ser obtida somando b à solução geral do sistema linear homogêneo Ax=0.”
A forma correta é pegar uma solução particular xp de Ax=b e somá-la ao espaço nulo, ou seja, x=xp+xh. Não se soma b, mas um vetor xp. Logo, (e) é falsa.

Passo 7

A afirmação (f) diz: “Se x1 e x2 são duas soluções do sistema linear não homogêneo Ax=b, então x1-x2 é uma solução do sistema linear homogêneo correspondente.”
De fato,
A(x1-x2)=Ax1-Ax2=b-b=0
Logo, (f) é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Falsa.
(c) Verdadeira.
(d) Verdadeira.
(e) Falsa.
(f) Verdadeira.

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