Determinar a dimensão dos seguintes subespaços de
:
(a) Subespaço das matrizes simétricas
(b) Subespaço das matrizes
tais que
(c) Subespaço das matrizes
tais que
.
(a) Subespaço das matrizes simétricas
(b) Subespaço das matrizes
(c) Subespaço das matrizes
Passo 1
O enunciado pede a dimensão de subespaços de
. O espaço total tem dimensão
Para cada caso, vamos contar quantos graus de liberdade restam após impor as restrições ou usar o teorema da dimensão (rank–nullity) em mapas lineares associados.
Passo 2
Considerando o subespaço das matrizes simétricas (
), impomos
.
- Para cada par
com sobra uma única entrada livre, e há desses pares. - Os
elementos da diagonal são independentes.
Logo o número total de entradas livres é
portanto
Passo 3
No subespaço definido por
:
- Se
, então implica . - Se
, da equação e aplicando-a trocando índices obtemos
Logo todas as entradas são zero, restando apenas a matriz nula. Assim o subespaço é
e
Passo 4
No subespaço das matrizes com
note que a aplicação
é linear e sobrejetora. Pelo teorema da dimensão (rank–nullity),
Esse kernel é exatamente o conjunto das matrizes de traço zero.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)