Determinar a dimensão dos seguintes subespaços de M3(R) :
(a) Subespaço das matrizes simétricas
(b) Subespaço das matrizes A tais que A=2 A^t
(c) Subespaço das matrizes A=[ai j] tais que sumi=1^3 ai i=0.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão de subespaços de M3( R). O espaço total tem dimensão
3^2 = 9
Para cada caso, vamos contar quantos graus de liberdade restam após impor as restrições ou usar o teorema da dimensão (rank–nullity) em mapas lineares associados.

Passo 2

Considerando o subespaço das matrizes simétricas ( A^t=A), impomos aij=aji.
  • Para cada par (i,j) com i<j sobra uma única entrada livre, e há 3 desses pares.
  • Os 3 elementos da diagonal a11,a22,a33 são independentes.
    Logo o número total de entradas livres é
3 + 3 = 6,
portanto
dim(subespaço simétrico) = 6 çé

Passo 3

No subespaço definido por A = 2A^t:
  • Se i=j, então aii=2aii implica aii=0.
  • Se ineq j, da equação aij=2aji e aplicando-a trocando índices obtemos aji=2aij Longrightarrow aij=2(2aij)=4aij Longrightarrow aij=0
Logo todas as entradas são zero, restando apenas a matriz nula. Assim o subespaço é 0 e
dim(Amid A=2A^t) = 0

Passo 4

No subespaço das matrizes com
sumi=1^3 aii = 0,
note que a aplicação
tr:M3( R)to R, tr(A)=sumi=1^3 aii
é linear e sobrejetora. Pelo teorema da dimensão (rank–nullity),
dimker(tr) = dim M3( R) - diml(Im(tr)r) = 9 - 1 = 8
Esse kernel é exatamente o conjunto das matrizes de traço zero.

Resposta

(a) 6
(b) 0
(c) 8

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