Questões:
4. (30 pts) Dada a reta
beta: pi-x2=y-13=-2 z-raiz28
(a) (15 pts) Determine a equação reduzida em função de z da reta r que passa pelo ponto (5,1,-1) e é paralela à reta dada beta.

Passo 1

O enunciado dá a reta beta em forma simétrica
pi - x2 ;=; y - tfrac13 ;=; -2z - raiz28
e pede a equação reduzida em função de z da reta r que passa por (5,1,-1) e é paralela a beta. Vamos precisar extrair o vetor direção de beta, montar a reta r em forma vetorial e finalmente expressar x e y como funções de z.

Passo 2

Para achar o vetor direção de beta note que, se chamarmos o parâmetro comum de
pi - x2 = t, y - tfrac13 = t, -2z - raiz28 = t,
temos
x = pi - 2t, y = tfrac13 + t, 2z - raiz2 = -8t;Longrightarrow; z = tfracraiz22 - 4t
Logo o vetor direção é
vec d = (-2,;1,;-4)

Passo 3

A reta r que passa por P=(5,1,-1) e tem direção vec d pode ser escrita em forma vetorial como
(x,y,z) = (5,1,-1) + s,(-2,1,-4)
Em coordenadas paramétricas:
x = 5 - 2s, y = 1 + s, z = -1 - 4s

Passo 4

Para obter a forma reduzida em função de z, tomamos z como parâmetro livre. Da última equação vem
z = -1 - 4s ;Longrightarrow; s = -z + 14
Substituindo em x e y:
x = 5 - 2l(-z+14r) = 5 + z+12 = z + 112,
y = 1 + l(-z+14r) = 1 - z+14 = 3 - z4

Resposta

A equação reduzida em função de z da reta r é
x = z + 112, y = 3 - z4, z = z

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