Questões:
4. (30 pts) Dada a reta
beta: pi-x2=y-13=-2 z-raiz28
(b) (15 pts) Se o ponto (m, 3, n) in r, determinar m e n.

Passo 1

O enunciado dá a reta beta em forma simétrica e pede as coordenadas m e n do ponto (m,3,n) que pertence a beta.
Conteúdo: geometria analítica no espaço, conversão de forma simétrica para parametrizada e imposição de condições de inclusão de ponto.

Passo 2

Chamamos de t o valor comum
pi - x2 ;=; y - 13 ;=; -2z - raiz28 ;=; t
Dessa forma obtemos as equações paramétricas:
x = pi - 2t,
y = 13 + t,
2z - raiz2 = -8t Longrightarrow z = raiz22 - 4t

Passo 3

Para o ponto (m,3,n) pertencer a beta precisamos que y=3. Usando y = tfrac13+t, temos
13 + t = 3 Longrightarrow t = 3 - 13 = 83

Passo 4

Substituímos t=tfrac83 nas expressões de x e z:
m = x = pi - 2cdot83 = pi - 163,
n = z = raiz22 - 4cdot83 = raiz22 - 323

Resposta

m = pi - tfrac163, n = tfracraiz22 - tfrac323

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