Determinar as dimensões do cilindro circular reto de maior volume inscrito num cone de base circular de raio
e altura
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as dimensões do cilindro circular reto de maior volume inscrito num cone de base circular de raio
e altura
.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
Informações dadas e o que devemos encontrar:
- Raio do cone:
. - Altura do cone:
. - Procuramos as dimensões do cilindro inscrito que maximizam o volume: isto é, queremos o raio do cilindro
e a altura do cilindro que tornam o volume do cilindro máximo, sujeitas às condições geométricas de inscrição.
Passo 2
Definindo variáveis e a relação geométrica entre cilindro e cone.
- Seja
o raio do cilindro e a sua altura (o cilindro repousa sobre a base do cone e seu topo fica a uma distância do plano da base). - Para um cilindro inscrito num cone reto com topo no vértice, os raios dos cortes transversais do cone diminuem linearmente com a altura: pela semelhança de triângulos, o raio disponível no nível de altura
é proporcional à distância restante até o vértice. Logo existe uma relação linear entre e .
Explico a semelhança de triângulos (passo didático): imagine um triângulo vertical que representa o perfil do cone (do vértice até a borda da base). A reta que liga o vértice à borda da base tem comprimento igual à altura do cone e a largura na base é
. Se cortarmos o cone por um plano paralelo à base a uma altura
medida da base, o raio desse corte é proporcional à distância do vértice até esse corte. Isso gera uma razão constante que leva à fórmula abaixo.
Passo 3
Obter explicitamente a relação entre
e
usando semelhança de triângulos.
A semelhança dá:
A semelhança dá:
Essa fórmula vem da razão entre o raio do cilindro e o raio da base do cone igual à razão entre a altura restante
(distância do topo do cilindro até o vértice) e a altura total
.
Isolando :
Isolando
Substituindo
e
(dados do enunciado), obtemos:
Passo 4
Escrever o volume do cilindro como função de
.
Fórmula do volume de um cilindro: o volume é a área da base vezes a altura; a base é um círculo de raio , então
Fórmula do volume de um cilindro: o volume é a área da base vezes a altura; a base é um círculo de raio
Substituindo
em função de
:
Simplificando o fator constante:
Comentário didático: agora transformamos o problema geométrico numa função de uma variável real
(a altura do cilindro). Para achar o cilindro de maior volume, basta maximizar essa função no intervalo possível de
, que é
.
Passo 5
Determinar o domínio de interesse e a estratégia para maximizar
.
- Domínio:
. Nas extremidades e o volume é zero (cilindro degenerado). - Estratégia: como temos uma função diferenciável de uma variável em um intervalo fechado, o máximo ocorre em um ponto crítico interno (onde
) ou nas extremidades. Extremidades dão volume zero, então procuramos pontos internos com . Usaremos derivada para encontrar o ponto crítico.
Passo 6
Calcular a derivada
. Vou derivar passo a passo a função
Trata-se de produto de
por
. Use a regra do produto:
. Seja
Então
. Agora derivamos
usando a regra da cadeia:
Aplicando a regra do produto:
Passo 7
Fatorar
para simplificar a equação
.
Do passo anterior:
Do passo anterior:
Agora simplifico o termo entre colchetes:
Portanto
Passo 8
Resolver
para encontrar pontos críticos internos.
Da fatoração temos que quando
Da fatoração temos que
Essas equações dão
e
. O valor
é a extremidade do intervalo (cilindro degenerado com raio zero), portanto não é o máximo interior de interesse. O candidato interior é
.
Passo 9
Verificar que
corresponde a máximo (ou raciocinar pelo comportamento).
- Podemos observar que
e . Como existe apenas um ponto crítico interior e a função é positiva entre 0 e 12, esse ponto crítico corresponde ao máximo global no intervalo . (Uma checagem rápida pelo sinal das derivadas à esquerda e à direita de confirmaria que se trata de máximo.)
Logo a altura do cilindro que maximiza o volume é
Passo 10
Calcular o raio correspondente
usando a relação obtida no Passo 3.
Lembremos:
Lembremos:
Substituindo
:
Portanto o raio do cilindro de maior volume é
.
Passo 11
Calcular o volume máximo (opcional, para entendimento).
Usando e
:
Usando
Isso confirma que o volume máximo é
.
Resposta
Raio do cilindro:
Altura do cilindro:
Altura do cilindro: