Determinar as dimensões do cilindro circular reto de maior volume inscrito num cone de base circular de raio r=3 e altura h=12.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as dimensões do cilindro circular reto de maior volume inscrito num cone de base circular de raio r=3 e altura h=12.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
  • Raio do cone: \,r=3.
  • Altura do cone: \,h=12.
  • Procuramos as dimensões do cilindro inscrito que maximizam o volume: isto é, queremos o raio do cilindro \,x e a altura do cilindro \,y que tornam o volume do cilindro máximo, sujeitas às condições geométricas de inscrição.

Passo 2

Definindo variáveis e a relação geométrica entre cilindro e cone.
  • Seja \,x o raio do cilindro e \,y a sua altura (o cilindro repousa sobre a base do cone e seu topo fica a uma distância \,y do plano da base).
  • Para um cilindro inscrito num cone reto com topo no vértice, os raios dos cortes transversais do cone diminuem linearmente com a altura: pela semelhança de triângulos, o raio disponível no nível de altura \,y é proporcional à distância restante até o vértice. Logo existe uma relação linear entre \,x e \,y.
Explico a semelhança de triângulos (passo didático): imagine um triângulo vertical que representa o perfil do cone (do vértice até a borda da base). A reta que liga o vértice à borda da base tem comprimento igual à altura do cone e a largura na base é 2r. Se cortarmos o cone por um plano paralelo à base a uma altura y medida da base, o raio desse corte é proporcional à distância do vértice até esse corte. Isso gera uma razão constante que leva à fórmula abaixo.

Passo 3

Obter explicitamente a relação entre \,x e \,y usando semelhança de triângulos.
A semelhança dá:
\frac{x}{r} = \frac{h-y}{h}.
Essa fórmula vem da razão entre o raio do cilindro e o raio da base do cone igual à razão entre a altura restante (h-y) (distância do topo do cilindro até o vértice) e a altura total h.
Isolando x:
x = r\left(1-\frac{y}{h}\right).
Substituindo r=3 e h=12 (dados do enunciado), obtemos:
x = 3\left(1-\frac{y}{12}\right).

Passo 4

Escrever o volume do cilindro como função de \,y.
Fórmula do volume de um cilindro: o volume é a área da base vezes a altura; a base é um círculo de raio x, então
V = \pi x^{2} y.
Substituindo x em função de y:
V(y) = \pi \left[3\left(1-\frac{y}{12}\right)\right]^{2} y.
Simplificando o fator constante:
V(y) = 9\pi \, y \left(1-\frac{y}{12}\right)^{2}.
Comentário didático: agora transformamos o problema geométrico numa função de uma variável real \,y (a altura do cilindro). Para achar o cilindro de maior volume, basta maximizar essa função no intervalo possível de \,y, que é 0\le y\le 12.

Passo 5

Determinar o domínio de interesse e a estratégia para maximizar V(y).
  • Domínio: \,0\le y\le 12. Nas extremidades y=0 e y=12 o volume é zero (cilindro degenerado).
  • Estratégia: como temos uma função diferenciável de uma variável em um intervalo fechado, o máximo ocorre em um ponto crítico interno (onde V'(y)=0) ou nas extremidades. Extremidades dão volume zero, então procuramos pontos internos com V'(y)=0. Usaremos derivada para encontrar o ponto crítico.

Passo 6

Calcular a derivada V'(y). Vou derivar passo a passo a função
V(y)=9\pi \, y \left(1-\frac{y}{12}\right)^{2}.
Trata-se de produto de y por \left(1-\frac{y}{12}\right)^{2}. Use a regra do produto: (fg)' = f'g + fg'. Seja
f(y)=y,\qquad g(y)=\left(1-\frac{y}{12}\right)^{2}.
Então f'(y)=1. Agora derivamos g(y) usando a regra da cadeia:
g'(y) = 2\left(1-\frac{y}{12}\right)\cdot\left(-\frac{1}{12}\right) = -\frac{1}{6}\left(1-\frac{y}{12}\right).
Aplicando a regra do produto:
V'(y)=9\pi\Big( 1\cdot\left(1-\frac{y}{12}\right)^{2} + y\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)\left(1-\frac{y}{12}\right)\Big).

Passo 7

Fatorar V'(y) para simplificar a equação V'(y)=0.
Do passo anterior:
V'(y)=9\pi\left(1-\frac{y}{12}\right)\left[\left(1-\frac{y}{12}\right) - \frac{y}{6}\right].
Agora simplifico o termo entre colchetes:
\left(1-\frac{y}{12}\right) - \frac{y}{6} = 1 - \frac{y}{12} - \frac{y}{6} = 1 - \frac{y}{12} - \frac{2y}{12} = 1 - \frac{3y}{12} = 1 - \frac{y}{4}.
Portanto
V'(y)=9\pi\left(1-\frac{y}{12}\right)\left(1-\frac{y}{4}\right).

Passo 8

Resolver V'(y)=0 para encontrar pontos críticos internos.
Da fatoração temos que V'(y)=0 quando
1-\frac{y}{12}=0\quad\text{ou}\quad 1-\frac{y}{4}=0.
Essas equações dão y=12 e y=4. O valor y=12 é a extremidade do intervalo (cilindro degenerado com raio zero), portanto não é o máximo interior de interesse. O candidato interior é \,y=4.

Passo 9

Verificar que y=4 corresponde a máximo (ou raciocinar pelo comportamento).
  • Podemos observar que V(0)=0 e V(12)=0. Como existe apenas um ponto crítico interior y=4 e a função é positiva entre 0 e 12, esse ponto crítico corresponde ao máximo global no intervalo [0,12]. (Uma checagem rápida pelo sinal das derivadas à esquerda e à direita de y=4 confirmaria que se trata de máximo.)
    Logo a altura do cilindro que maximiza o volume é
y=4.

Passo 10

Calcular o raio correspondente x usando a relação obtida no Passo 3.
Lembremos:
x = 3\left(1-\frac{y}{12}\right).
Substituindo y=4:
x = 3\left(1-\frac{4}{12}\right) = 3\left(1-\frac{1}{3}\right) = 3\cdot\frac{2}{3}=2.
Portanto o raio do cilindro de maior volume é \,x=2.

Passo 11

Calcular o volume máximo (opcional, para entendimento).
Usando \,x=2 e \,y=4:
V_{\max} = \pi x^{2} y = \pi \cdot 2^{2}\cdot 4 = \pi \cdot 4 \cdot 4 = 16\pi.
Isso confirma que o volume máximo é \,16\pi.

Resposta

Raio do cilindro: \;x=2
Altura do cilindro: \;y=4

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