Determinar a equação da reta tangente à:
Circunferência
no ponto
.
Circunferência
Passo 1
O enunciado dá a circunferência
e o ponto
.
Pede-se: determinar a equação da reta tangente à circunferência no ponto .
Informações relevantes listadas:
Pede-se: determinar a equação da reta tangente à circunferência no ponto
Informações relevantes listadas:
- Equação da curva:
. - Ponto de tangência:
. - O objetivo é uma equação da reta (forma que preferir: ponto-declive, reduzida, geral).
Passo 2
Escolha do método (explicação didática): existem duas formas simples aqui — (A) usar a ideia geométrica de que o raio ao ponto de tangência é perpendicular à reta tangente; (B) usar diferenciação implícita para obter a derivada
, que dá a inclinação da tangente. Vou usar a diferenciação implícita porque é direta e sistemática: qualquer curva dada por uma equação
permite obter a inclinação da tangente diferenciando ambos os lados em relação a
tratando
como função de
. Isso é um procedimento padrão em prova e dá uma fórmula imediata para a inclinação.
Breve aula sobre diferenciação implícita: se temos
com
dependente de
, derivamos ambos os lados em
. Quando derivamos um termo que envolve
, aplicamos a regra da cadeia: derivative de
em relação a
é
, onde
é a inclinação da curva. A inclinação da reta tangente num ponto é exatamente esse
avaliado naquele ponto.
Passo 3
Aplicando a diferenciação implícita à equação da circunferência:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Isso dá
Agora isolamos
:
Explicação:
é a inclinação da tangente em qualquer ponto
da circunferência; a fórmula significa que a inclinação da tangente depende da relação entre
e
naquele ponto.
Passo 4
Avaliar a inclinação no ponto dado
. Substituindo na fórmula:
Calculemos com cuidado: o numerador e o denominador têm a mesma magnitude
e sinais opostos, então
Portanto a inclinação (declive) da reta tangente em
é
.
Nota rápida de verificação geométrica (opcional): o vetor posição do centro (origem) até
tem coeficiente angular
; a reta tangente deve ser perpendicular a esse raio, e a negativa do recíproco de
é
, confirmando o resultado.
Passo 5
Agora usamos a forma ponto-declive da reta:
. Substituindo
e
:
Simplificando:
Passando os termos constantes para o lado direito:
Como
, obtemos
Passo 6
Verificação final rápida: substituir
na equação
dá
que é exatamente
. Logo a reta passa por
e tem a inclinação correta; é a tangente buscada.