Determinar a equação da reta tangente à:
Circunferência x^{2}+y^{2}=1 no ponto P_{0}=(\sqrt{2} / 2,-\sqrt{2} / 2).

Passo 1

O enunciado dá a circunferência \,x^{2}+y^{2}=1\, e o ponto \;P_{0}=\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)\;.
Pede-se: determinar a equação da reta tangente à circunferência no ponto \,P_{0}\,.
Informações relevantes listadas:
  • Equação da curva: \,x^{2}+y^{2}=1\,.
  • Ponto de tangência: \,P_{0}=\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)\,.
  • O objetivo é uma equação da reta (forma que preferir: ponto-declive, reduzida, geral).

Passo 2

Escolha do método (explicação didática): existem duas formas simples aqui — (A) usar a ideia geométrica de que o raio ao ponto de tangência é perpendicular à reta tangente; (B) usar diferenciação implícita para obter a derivada \,y'(x)\,, que dá a inclinação da tangente. Vou usar a diferenciação implícita porque é direta e sistemática: qualquer curva dada por uma equação F(x,y)=0 permite obter a inclinação da tangente diferenciando ambos os lados em relação a x tratando y como função de x. Isso é um procedimento padrão em prova e dá uma fórmula imediata para a inclinação.
Breve aula sobre diferenciação implícita: se temos \,F(x,y)=0\, com y dependente de x, derivamos ambos os lados em x. Quando derivamos um termo que envolve y, aplicamos a regra da cadeia: derivative de y^{2} em relação a x é 2y\cdot y', onde \,y'=\dfrac{dy}{dx} é a inclinação da curva. A inclinação da reta tangente num ponto é exatamente esse y' avaliado naquele ponto.

Passo 3

Aplicando a diferenciação implícita à equação da circunferência:
x^{2}+y^{2}=1.
Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)=\frac{d}{dx}(1).
Isso dá
2x + 2y\,y' = 0.
Agora isolamos y':
y' = -\frac{x}{y}.
Explicação: y' é a inclinação da tangente em qualquer ponto (x,y) da circunferência; a fórmula significa que a inclinação da tangente depende da relação entre x e y naquele ponto.

Passo 4

Avaliar a inclinação no ponto dado \,P_{0}=\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)\,. Substituindo na fórmula:
y'(P_{0}) = -\frac{x_{0}}{y_{0}} = -\frac{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{-\tfrac{\sqrt{2}}{2}}.
Calculemos com cuidado: o numerador e o denominador têm a mesma magnitude \tfrac{\sqrt{2}}{2} e sinais opostos, então
y'(P_{0}) = -\frac{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{-\tfrac{\sqrt{2}}{2}} = -\biggl(-1\biggr) = 1.
Portanto a inclinação (declive) da reta tangente em P_{0} é \,m=1.
Nota rápida de verificação geométrica (opcional): o vetor posição do centro (origem) até P_{0} tem coeficiente angular \dfrac{y_{0}}{x_{0}}=-1; a reta tangente deve ser perpendicular a esse raio, e a negativa do recíproco de -1 é 1, confirmando o resultado.

Passo 5

Agora usamos a forma ponto-declive da reta: \,y-y_{0}=m(x-x_{0}). Substituindo m=1 e P_{0}=\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr):
y - \Bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = 1\cdot\Bigl(x - \tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr).
Simplificando:
y + \tfrac{\sqrt{2}}{2} = x - \tfrac{\sqrt{2}}{2}.
Passando os termos constantes para o lado direito:
y = x - \tfrac{\sqrt{2}}{2} - \tfrac{\sqrt{2}}{2}.
Como \tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}, obtemos
y = x - \sqrt{2}.

Passo 6

Verificação final rápida: substituir x_{0}=\tfrac{\sqrt{2}}{2} na equação y=x-\sqrt{2}
y = \tfrac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = \tfrac{\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{2} = -\tfrac{\sqrt{2}}{2},
que é exatamente y_{0}. Logo a reta passa por P_{0} e tem a inclinação correta; é a tangente buscada.

Resposta

y = x - \sqrt{2}

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