Diga se cada equação é verdadeira ou falsa.
f)
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Passo 1
O enunciado pede que a gente diga se a seguinte igualdade é verdadeira ou falsa:
Informações relevantes dadas ou implicadas:
- As variáveis aparecem em denominadores, então são proibidos valores que anulem denominadores:
, , . - Se aparecerem fatores como
ou no processo, devemos também evitar e quando essas quantidades forem usadas como denominadores. - A tarefa é verificar se a igualdade vale para todos os valores permitidos das variáveis (identidade) ou se só vale em casos especiais.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar o denominador da fração à esquerda:
Para subtrair frações com denominadores diferentes, usamos o mesmo denominador comum
. Fazendo isso:
Passo 3
Agora reconhecemos que
é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada:
Portanto podemos escrever
Lembre-se: essa fatoração é válida algebraicamente sempre, mas se
ou
teremos zeros nos fatores e precisam ser tratados (são casos em que a expressão original pode ficar indefinida).
Passo 4
Voltando à expressão completa da esquerda, temos uma fração sobre outra fração. Lembrete importante de cálculo de frações: dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso (recíproco) dessa fração. Assim
Multiplicando pelo recíproco do denominador obtemos
Passo 5
Agora comparamos essa forma simplificada da esquerda com o lado direito
. A igualdade exigiria
Multiplicando ambos os lados por
(assumindo
) obtemos
Isolando
resulta
desde que
. Ou seja, a igualdade só vale quando
satisfaz essa relação específica.
Passo 6
Conclusão lógica: a igualdade não é verdadeira para todos os valores admissíveis de
,
e
. Ela é verdadeira apenas nos casos em que
(além das restrições
,
,
,
,
quando relevantes). Portanto a igualdade não é uma identidade universal — é falsa em geral.
Passo 7
Para fixar a ideia, faço um contraexemplo numérico simples. Tome
,
,
(esses valores respeitam
,
,
,
). Calculando:
Como
, a igualdade falha nesse exemplo, confirmando que não é verdadeira em geral.
Resposta
Falsa.