Diga se cada equação é verdadeira ou falsa.
f) \frac{\frac{1}{x}}{\frac{a}{b}-\frac{b}{a}}=\frac{1}{a-b}

Passo 1

O enunciado pede que a gente diga se a seguinte igualdade é verdadeira ou falsa:
\frac{\frac{1}{x}}{\frac{a}{b}-\frac{b}{a}}=\frac{1}{a-b}.
Informações relevantes dadas ou implicadas:
  • As variáveis aparecem em denominadores, então são proibidos valores que anulem denominadores: x\neq0, a\neq0, b\neq0.
  • Se aparecerem fatores como a-b ou a+b no processo, devemos também evitar a=b e a=-b quando essas quantidades forem usadas como denominadores.
  • A tarefa é verificar se a igualdade vale para todos os valores permitidos das variáveis (identidade) ou se só vale em casos especiais.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o denominador da fração à esquerda:
\frac{a}{b}-\frac{b}{a}.
Para subtrair frações com denominadores diferentes, usamos o mesmo denominador comum ab. Fazendo isso:
\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\frac{a\cdot a}{ab}-\frac{b\cdot b}{ab}=\frac{a^{2}-b^{2}}{ab}.

Passo 3

Agora reconhecemos que a^{2}-b^{2} é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Portanto podemos escrever
\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\frac{(a-b)(a+b)}{ab}.
Lembre-se: essa fatoração é válida algebraicamente sempre, mas se a=b ou a=-b teremos zeros nos fatores e precisam ser tratados (são casos em que a expressão original pode ficar indefinida).

Passo 4

Voltando à expressão completa da esquerda, temos uma fração sobre outra fração. Lembrete importante de cálculo de frações: dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso (recíproco) dessa fração. Assim
\frac{\frac{1}{x}}{\frac{a}{b}-\frac{b}{a}} =\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}} =\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\dfrac{(a-b)(a+b)}{ab}}.
Multiplicando pelo recíproco do denominador obtemos
\frac{\frac{1}{x}}{\frac{a}{b}-\frac{b}{a}} =\frac{1}{x}\cdot\frac{ab}{(a-b)(a+b)} =\frac{ab}{x\,(a-b)(a+b)}.

Passo 5

Agora comparamos essa forma simplificada da esquerda com o lado direito \dfrac{1}{a-b}. A igualdade exigiria
\frac{ab}{x\,(a-b)(a+b)}=\frac{1}{a-b}.
Multiplicando ambos os lados por a-b (assumindo a-b\neq0) obtemos
\frac{ab}{x\,(a+b)}=1.
Isolando x resulta
x=\frac{ab}{a+b},
desde que a+b\neq0. Ou seja, a igualdade só vale quando x satisfaz essa relação específica.

Passo 6

Conclusão lógica: a igualdade não é verdadeira para todos os valores admissíveis de a, b e x. Ela é verdadeira apenas nos casos em que
x=\frac{ab}{a+b},
(além das restrições x\neq0, a\neq0, b\neq0, a\neq b, a\neq -b quando relevantes). Portanto a igualdade não é uma identidade universal — é falsa em geral.

Passo 7

Para fixar a ideia, faço um contraexemplo numérico simples. Tome a=2, b=1, x=1 (esses valores respeitam x\neq0, a\neq0, b\neq0, a\neq\pm b). Calculando:
\text{esquerda}=\frac{\frac{1}{1}}{\frac{2}{1}-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\tfrac{3}{2}}=\tfrac{2}{3},
\text{direita}=\frac{1}{2-1}=1.
Como \tfrac{2}{3}\neq1, a igualdade falha nesse exemplo, confirmando que não é verdadeira em geral.

Resposta

Falsa.

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