Determinar o valor de
que torne a função
diferenciável em todo ponto
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor de
diferenciável em todo ponto
para
e
para
.
- A única possível “problema” de diferenciabilidade é no ponto onde a definição muda, isto é, em (em qualquer outro
cada ramo é uma função polinomial ou linear, que são diferenciáveis).
- A tarefa é achar qual valor de faz com que
seja diferenciável para todo
(em particular em
).]
- A única possível “problema” de diferenciabilidade é no ponto onde a definição muda, isto é, em
- A tarefa é achar qual valor de
Passo 2
Relembrando o que significa ser diferenciável num ponto (passo didático): uma função
é diferenciável em
se o limite que define a derivada em
existe (e é finito). Para que esse limite exista, é necessário que:
-
seja contínua em (diferenciabilidade implica continuidade), e - as derivadas laterais (limites pelo lado esquerdo e direito) coincidam.
Então, primeiro vamos verificar a continuidade em
.
Passo 3
Verificação da continuidade em
(explicando cada passo): a função é contínua em
se
- Cálculo do limite pela esquerda: para
temos . Assim
- Valor de
em : pela definição do trecho , temos
- Cálculo do limite pela direita: para
a expressão é , então
Conclusão: os dois limites laterais valem
e igualam
. Logo
é contínua em
para qualquer valor de
. Portanto a continuidade não impõe restrição sobre
.
Passo 4
Agora verificamos a diferenciabilidade em
: precisamos que as derivadas laterais em
coincidam. Vamos calcular cada uma e explicar a técnica.
Cálculo da derivada lateral pela esquerda em
: para
,
. A derivada de uma função linear
é constante e igual ao coeficiente angular
. Em termos de limite:
Portanto a derivada à esquerda em
é
.
Cálculo da derivada lateral pela direita em
: para
,
. Podemos usar a regra de derivação de polinômios (derivada de
é
, de
é
), ou calcular pelo limite:
Assim a derivada à direita em
é
.
Passo 5
Para que
seja diferenciável em
precisamos que as duas derivadas laterais coincidam:
Substituindo os valores que achamos:
Portanto o único valor de
que faz as derivadas laterais iguais (e, como já vimos, garante continuidade) é
.