Determinar o valor de a que torne a função f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a x, & \text { se } x<0 \\\ x^{2}-3 x, & \text { se } x \geq 0\end{array}\right. diferenciável em todo ponto x.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de a\) que torne a função \[f(x)=\begin{cases} a x, & \text{se } x<0,\\[4pt] x^{2}-3x, & \text{se } x\ge 0 \end{cases}
diferenciável em todo ponto x\]. Informações dadas importantes: - A função é definida por duas expressões: \(a x para x<0 e x^{2}-3x para x\ge 0.
- A única possível “problema” de diferenciabilidade é no ponto onde a definição muda, isto é, em x=0 (em qualquer outro x cada ramo é uma função polinomial ou linear, que são diferenciáveis).
- A tarefa é achar qual valor de a faz com que f seja diferenciável para todo x (em particular em x=0).]

Passo 2

Relembrando o que significa ser diferenciável num ponto (passo didático): uma função f é diferenciável em x=0 se o limite que define a derivada em 0
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}
existe (e é finito). Para que esse limite exista, é necessário que:
  1. f seja contínua em 0 (diferenciabilidade implica continuidade), e
  2. as derivadas laterais (limites pelo lado esquerdo e direito) coincidam.
Então, primeiro vamos verificar a continuidade em 0.

Passo 3

Verificação da continuidade em 0 (explicando cada passo): a função é contínua em 0 se
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^+} f(x)=f(0).
  • Cálculo do limite pela esquerda: para x<0 temos f(x)=a x. Assim
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-} a x = a\cdot 0 = 0.
  • Valor de f em 0: pela definição do trecho x\ge 0, temos
f(0)=0^{2}-3\cdot 0 = 0.
  • Cálculo do limite pela direita: para x\ge 0 a expressão é x^{2}-3x, então
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} (x^{2}-3x)=0^{2}-3\cdot 0=0.
Conclusão: os dois limites laterais valem 0 e igualam f(0). Logo f é contínua em 0 para qualquer valor de a. Portanto a continuidade não impõe restrição sobre a.

Passo 4

Agora verificamos a diferenciabilidade em 0: precisamos que as derivadas laterais em 0 coincidam. Vamos calcular cada uma e explicar a técnica.
Cálculo da derivada lateral pela esquerda em 0: para x<0, f(x)=a x. A derivada de uma função linear g(x)=m x é constante e igual ao coeficiente angular m. Em termos de limite:
f'_-(0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to 0^-}\frac{a h - 0}{h} =\lim_{h\to 0^-} a = a.
Portanto a derivada à esquerda em 0 é a.
Cálculo da derivada lateral pela direita em 0: para x\ge 0, f(x)=x^{2}-3x. Podemos usar a regra de derivação de polinômios (derivada de x^{2} é 2x, de -3x é -3), ou calcular pelo limite:
f'_+(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to 0^+}\frac{h^{2}-3h-0}{h} =\lim_{h\to 0^+}(h-3)=-3.
Assim a derivada à direita em 0 é -3.

Passo 5

Para que f seja diferenciável em 0 precisamos que as duas derivadas laterais coincidam:
f'_-(0)=f'_+(0).
Substituindo os valores que achamos:
a = -3.
Portanto o único valor de a que faz as derivadas laterais iguais (e, como já vimos, garante continuidade) é a=-3.

Resposta

-3

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