Determinar as dimensões de uma seção trapezoidal de máxima eficiência hidráulica capaz de conduzir uma vazão de 1 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, com declividade de 0,001 \mathrm{~m} / \mathrm{m}. O canal deverá ser revestido com concreto ( \mathrm{n}=0,012 ).

Passo 1

O enunciado pede o projeto da seção trapezoidal de máxima eficiência hidráulica (isto é, que para dada declividade S e coeficiente de Manning n entregue o maior fluxo possível) para transportar Q=1\ \mathrm{m^3/s}. Vamos usar a fórmula de Manning
Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,\sqrt{S}
onde A é a área da seção e R=A/P é o raio hidráulico ( P = perímetro molhado). Nosso objetivo é achar as dimensões que maximizem A\,R^{2/3}.

Passo 2

Considere uma seção trapezoidal com base inferior b, profundidade y e talude lateral m (horizontal para 1 vertical). Então
A = y\bigl(b + m\,y\bigr), \quad P = b + 2\,y\sqrt{1 + m^2}, \quad R = \frac{A}{P}.
Para dado m, se derivarmos A\,R^{2/3} em relação à razão B = b/y veremos que não há extremum interno — a derivada só zera se b=0. Ou seja, a seção de máxima eficiência é triangular ( b=0).

Passo 3

Adotando então a forma triangular ( b=0) e tomando o talude usual em concreto m=1 (1H:1V), temos
A = m\,y^2 = y^2, \quad P = 2\,y\sqrt{1+1^2} = 2\,y\sqrt{2}, \quad R = \frac{y^2}{2\,y\sqrt{2}} = \frac{y}{2\sqrt{2}}.
Substituindo em Manning:
Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,\sqrt{S} = \frac{1}{n}\;y^2\;\Bigl(\tfrac{y}{2\sqrt2}\Bigr)^{2/3}\;\sqrt{S}.
Isolando y:
y^{2 + \tfrac{2}{3}} = y^{\tfrac{8}{3}} = Q\,n\,(2\sqrt2)^{2/3}\,S^{-1/2},
y = \Bigl[\,Q\,n\,(2\sqrt2)^{2/3}\,/\,\sqrt{S}\Bigr]^{3/8}.

Passo 4

Agora basta pôr Q=1, n=0.012, S=0.001. Note que
(2\sqrt2)^{2/3} = 2. Logo
y = \Bigl[\;1\cdot0.012\cdot2 \;/\;0.0316228\Bigr]^{3/8} \approx 0.90\\ \mathrm{m}.
Daí a largura no topo vale
B_\text{topo} = 2\,m\,y = 2\cdot1\cdot0.90 \approx 1.80\\ \mathrm{m}.

Resposta

Seção triangular ( b=0) com lados em talude 1H:1V e profundidade
y \approx 0{,}90\\ \mathrm{m},
largura no topo
B_\text{topo} \approx 1{,}80\\ \mathrm{m}.

Exercícios relacionados