Dimensionar uma galeria circular, em concreto, para uma vazão de 0,7 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, sendo a declividade longitudinal de 0,02 \mathrm{~m} / \mathrm{m}. A galeria deve funcionar com um tirante máximo de 85 \% do diâmetro e velocidade máxima de 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considere \mathrm{n}=0,013.

Passo 1

O enunciado pede o diâmetro D de uma galeria circular em concreto que deve transportar Q=0,7 \mathrm{m}^3/\mathrm{s} em uma declividade S=0,02, operando com tirante y=0,85\,D e velocidade máxima V_{\max}=5,0 \mathrm{m/s}, usando o coeficiente de Manning n=0,013. Vamos aplicar a geometria de um canal circular parcialmente cheio e a fórmula de Manning para resolver.

Passo 2

Para o tirante y=0,85\,D em um tubo de diâmetro D definimos a meia–diferença normalizada
1 - 2\frac{y}{D} = 1 - 2\cdot0,85 = -0,7.
O ângulo central correspondente é
\theta = \operatorname{arccos}\bigl(-0,7\bigr)\approx 2,3466\text{ rad}
e o ângulo total de setor molhado é 2\theta\approx 4,6932\text{ rad}.

Passo 3

A área da seção molhada A e o perímetro molhado P são
A = \frac{D^2}{8}\bigl(2\theta - \sin(2\theta)\bigr) \quad,\quad P = D\,\theta.
Substituindo \theta\approx2,3466 obtemos numericamente
A \approx 0,7115\,D^2, \quad P \approx 2,3466\,D.
O raio hidráulico fica
R_h = \frac{A}{P}\approx \frac{0,7115\,D^2}{2,3466\,D}=0,3033\,D.

Passo 4

Pela fórmula de Manning,
Q = \frac{1}{n}\;A\,R_h^{2/3}\,S^{1/2}.
Substituindo n=0,013, S^{1/2}=\sqrt{0,02}\approx0,14142, e as expressões de A e R_h,
Q \approx \frac{1}{0,013}\;0,7115\,D^2\;(0,3033\,D)^{2/3}\;(0,14142) \approx 3,496\,D^{8/3}.
Para Q=0,7 resolvemos
0,7 = 3,496\,D^{8/3} \quad\Longrightarrow\quad D^{8/3} = \frac{0,7}{3,496}\approx0,2003 \quad\Longrightarrow\quad D = (0,2003)^{3/8}\approx 0,55\text{ m}.

Passo 5

Verificamos a velocidade real na seção molhada:
V = \frac{Q}{A} = \frac{0,7}{0,7115\,(0,55)^2} \approx 3,28\;\mathrm{m/s},
que está abaixo do limite V_{\max}=5,0 \mathrm{m/s}. Logo, D=0,55 \mathrm{m} satisfaz todas as condições.

Resposta

O diâmetro necessário é D\approx0,55 \mathrm{m}.

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