Determinar a distância do ponto \mathbf{P} ao plano \pi, nos seguintes casos:
P=(0,0,-1), \quad \pi:\left\{\begin{array}{l}x=2 \lambda+\mu \\\ y=-\lambda-\mu \\\ z=1-2 \mu\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto \mathbf{P}=(0,0,-1) a um plano \pi dado em forma paramétrica
\pi:\quad \begin{cases} x = 2\lambda + \mu,\\\ y = -\lambda - \mu,\\\ z = 1 - 2\mu. \end{cases}
O conteúdo aqui é geometria no espaço: precisamos extrair dois vetores diretores do plano, obter um vetor normal via produto vetorial, escrever a equação cartesiana do plano e, por fim, aplicar a fórmula da distância ponto–plano.

Passo 2

Dos parâmetros \lambda e \mu lemos dois vetores diretores do plano:
\mathbf{v} = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial\lambda} = (2,\,-1,\,0), \qquad \mathbf{w} = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial\mu} = (1,\,-1,\,-2).

Passo 3

O vetor normal ao plano é
\mathbf{n} = \mathbf{v}\times \mathbf{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 2 & -1 & 0\\\\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix} = (2,\,4,\,-1).

Passo 4

Para achar a equação cartesiana, escolhemos o ponto quando \lambda=0,\mu=0, que dá \mathbf{A}=(0,0,1). Usamos
\mathbf{n}\cdot[(x,y,z)-\mathbf{A}]=0 \;\Longrightarrow\; (2,4,-1)\cdot(x,y,z-1)=0 \;\Longrightarrow\; 2x+4y-(z-1)=0 \;\Longrightarrow\; 2x+4y-z+1=0.

Passo 5

A distância de \mathbf{P}=(0,0,-1) ao plano 2x+4y-z+1=0 é
d = \frac{\bigl|2\cdot 0 + 4\cdot 0 -1\cdot(-1) + 1\bigr|}{\sqrt{2^2 + 4^2 + (-1)^2}} = \frac{|2|}{\sqrt{21}} = \frac{2}{\sqrt{21}}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{\sqrt{21}}

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