Determinar a distância do ponto \mathbf{P} ao plano \pi, nos seguintes casos:
\mathrm{P}=(2,1,-3), \quad \pi:\{\mathrm{X}=(1,2,-1)+\lambda(3,2,-1)+\mu(1,0,0)

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P=(2,1,-3) ao plano \pi dado em forma paramétrica
X = (1,2,-1) + \lambda\,(3,2,-1) + \mu\,(1,0,0).
O conteúdo envolvido é a distância de um ponto a um plano, que exige obter um vetor normal ao plano e aplicar a fórmula
d = \frac{|\overrightarrow{AP}\cdot \mathbf{n}|}{\|\mathbf{n}\|}.

Passo 2

Identificamos no plano um ponto A e dois vetores diretores \mathbf{v} e \mathbf{w}:
A = (1,2,-1), \quad \mathbf{v} = (3,2,-1), \quad \mathbf{w} = (1,0,0).
O vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado pelo produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{w}. Calculando:
\mathbf{n} = (3,2,-1)\times(1,0,0) = \bigl(0,\,-1,\,-2\bigr).

Passo 3

Calculamos o vetor que vai de A a P:
\overrightarrow{AP} = P - A = (2,1,-3) - (1,2,-1) = (1,-1,-2).

Passo 4

Aplicamos a fórmula da distância:
d = \frac{\bigl|\overrightarrow{AP}\cdot \mathbf{n}\bigr|}{\|\mathbf{n}\|}.
Primeiro o produto escalar:
\overrightarrow{AP}\cdot \mathbf{n} = (1,-1,-2)\cdot(0,-1,-2) = 1 + 4 = 5.
Em seguida a norma de \mathbf{n}:
\|\mathbf{n}\| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}.
Portanto
d = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}.

Resposta

\sqrt{5}

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