Determinar a distância do ponto \mathbf{P} ao plano \pi, nos seguintes casos:
\mathrm{P}=(1,1,1), \quad \pi:\{2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}-1=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a distância do ponto \mathbf{P}=(1,1,1) ao plano
\pi:2x - y + z - 1 = 0.
Este é um problema de geometria analítica no espaço, e vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano em \mathbb{R}^3.

Passo 2

A fórmula da distância de um ponto (x_0,y_0,z_0) ao plano Ax+By+Cz+D=0 é
\mathrm{dist}=\frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.
No nosso caso, A=2, B=-1, C=1 e D=-1, e o ponto é (x_0,y_0,z_0)=(1,1,1). Então:
– Numerador:
\bigl|2\cdot1 + (-1)\cdot1 + 1\cdot1 + (-1)\bigr| = \bigl|2 -1 +1 -1\bigr| = \bigl|1\bigr| =1.
– Denominador:
\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}.
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\mathrm{dist} = \frac{1}{\sqrt{6}}.

Resposta

\frac{1}{\sqrt{6}}

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