Determinar a distância do ponto \mathbf{P} ao plano \pi, nos seguintes casos:
\mathrm{P}=(3,1,-1), \quad \pi:\left\{\frac{\mathrm{x}}{2}+\frac{\mathrm{y}}{3}+\mathrm{z}=1\right..

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto \mathbf{P}=(3,1,-1) ao plano
\pi: \frac{x}{2} + \frac{y}{3} + z = 1.
O conteúdo aqui é a fórmula da distância de um ponto a um plano no espaço, que exige colocar o plano na forma geral Ax+By+Cz+D=0 e depois aplicar
d = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a equação do plano em forma geral. Multiplicando por 6 (o mínimo comum múltiplo de 2 e 3) em
\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + z = 1
obtemos
3x + 2y + 6z = 6.
Passando tudo para o lado esquerdo, fica
3x + 2y + 6z - 6 = 0,
logo A=3, B=2, C=6 e D=-6.

Passo 3

Agora identificamos as coordenadas do ponto \mathbf{P}, ou seja, x_0=3, y_0=1 e z_0=-1.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da distância:
d = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.
Substituindo A=3, B=2, C=6, D=-6 e (x_0,y_0,z_0)=(3,1,-1):
\text{numerador} = \bigl|3\cdot3 + 2\cdot1 + 6\cdot(-1) - 6\bigr| = \bigl|9 + 2 - 6 - 6\bigr| = \bigl|-1\bigr| = 1,
\text{denominador} = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7.

Resposta

A distância do ponto \mathbf{P} ao plano \pi é
d = \frac{1}{7}.

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