Determinar a distância do ponto \mathbf{P} ao plano \pi, nos seguintes casos: \mathrm{P}=(3,1,-1), \quad \pi:\left\{\frac{\mathrm{x}}{2}+\frac{\mathrm{y}}{3}+\mathrm{z}=1\right..
Passo 1
O enunciado pede a distância do ponto \mathbf{P}=(3,1,-1) ao plano
\pi: \frac{x}{2} + \frac{y}{3} + z = 1.
O conteúdo aqui é a fórmula da distância de um ponto a um plano no espaço, que exige colocar o plano na forma geral Ax+By+Cz+D=0 e depois aplicar
d = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a equação do plano em forma geral. Multiplicando por 6 (o mínimo comum múltiplo de 2 e 3) em
\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + z = 1
obtemos
3x + 2y + 6z = 6.
Passando tudo para o lado esquerdo, fica
3x + 2y + 6z - 6 = 0,
logo A=3, B=2, C=6 e D=-6.
Passo 3
Agora identificamos as coordenadas do ponto \mathbf{P}, ou seja, x_0=3, y_0=1 e z_0=-1.
Passo 4
Aplicamos a fórmula da distância:
d = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.
Substituindo A=3, B=2, C=6, D=-6 e (x_0,y_0,z_0)=(3,1,-1):